«I testi di matematica sono simili a documenti legali e spesso altrettanto divertenti da leggere.»

«Di rado i corsi di matematica ci dicono se una data formula è davvero significativa, o perché lo è, o da dove è arrivata, o cosa c'era in gioco. C'è evidentemente una differenza tra essere in grado di usare correttamente una formula e sapere davvero come risolvere un problema, sapere perché un problema è un vero problema matematico e non solo un esercizio. E naturalmente anche gli studenti pensano raramente di chiederlo: ci vuole già tanto lavoro per "capire" le formule (ovvero per essere in grado di usarle per risolvere correttamente dei problemi) che spesso non ci rendiamo conto di non capirle affatto.»

«Il Matematico Mentalmente Instabile sembra oggi in un certo senso essere ciò che il Cavaliere Errante, il Santo Mortificantesi, l'Artista Tormentato, e lo Scienziato Pazzo sono stati durante altre epoche: una sorta di Prometeo, colui che va in luoghi proibiti e ritorna con doni che tutti noi potremo usare, ma per i quali lui sarà l'unico a pagare. Questo è probabilmente un po' esagerato, almeno in molti casi: ma Cantor corrisponde allo stampo meglio di tanti altri.»

«Questi numeri [irrazionali], scoperti non essere esprimibili per mezzo di quantità finite, furono così letali per i Pitagorici che la loro scoperta divenne l'equivalente greco del Watergate.»

«Non basta che le teorie matematiche funzionino: si suppone anche che siano definite in maniera rigorosa e dimostrate in modo adeguato ai grandi standard deduttivi greci. Ciò non è però capitato per la maggior parte del '700. Era come una bolla speculativa del mercato azionario. E per un po' è sembrato favoloso.»

«Estensioni e modifiche successive della teoria russelliana dei tipi, fatta da logici come F.P. Ramsey e A. Tarski, sono un incubo di complicazione e confusione tale che la maggior parte dei matematici fingerà di non sentirvi nemmeno se tentate di portare il discorso su di esse.»

«[rispondendo a Thomas Hobbes, che si lamentava di una pagina "così coperta da croste di simboli che non ho avuto la pazienza di esaminare se è bene o male dimostrata"] Non sarebbe legale per me scrivere Simboli, fino a quando voi non li possiate comprendere? Signore, essi non sono stati scritti perché li legga lei, ma per quelli che sono in grado di farlo.»

«Si può dire che la pesca con la lenza è come la matematica: non la si può mai imparare completamente.»

«Per forse venti pagine leggeva lento, attento, ligio, con pause per autoesame e creandosi degli esempi. Poi, proprio mentre il tema si scaldava e le pause avrebbero dovuto essere più scrupolose che mai, arrivava su di lui un certo rapimento estatico, e si buttava a leggere, rimanendo sveglio fino all'alba per finire il libro, come se fosse un romanzo. Dopo di che la sua passione si bloccava; il libro tornava in biblioteca, e aveva terminato con la matematica fino alla tirata successiva. Non gli restava molto dopo queste orge, ma qualcosa sì: una sensazione in mente, un riconoscimento adorante di qualcosa di isolato e inoppugnabile, o il ricordo di una gioia della mente alla correttezza dei pensieri che si univano per raggiungere una conclusione, pensieri accurati, pensieri solo come intonazione, che si univano come voci senza accompagnamento verso una cadenza.»

«Il signor Fortune scoprì che la teologia era un argomento molto più accomodante che la matematica; la sua tecnica di esposizione permetteva una maggior tolleranza. Ad esempio, quando si è confusi su qualcosa c'è sempre la morale su cui ricadere. Si possono anche fare confronti, citare casi guida, analizzare tipi e pretipi e introdurre aneddoti. Tranne che per Archimede, la matematica è singolarmente priva di aneddoti.»

«Riprese: «Per misurare l'altezza dell'albero devo essere in una posizione tale che la punta dell'albero sia esattamente in linea con la punta di un bastone, o di un qualunque oggetto rigido, come un ombrello, che assicurerò verticalmente tra i miei piedi. Sapendo quindi che il rapporto tra l'altezza dell'albero e quella del bastone deve essere uguale al rapporto tra la distanza dai miei occhi alla base dell'albero e la mia altezza, e sapendo (o essendo in grado di trovare) la mia altezza, la lunghezza del bastone e la distanza tra i miei occhi e la base dell'albero, posso pertanto calcolare l'altezza dell'albero. Chiaro?» «Che cos'è un ombrello?»»

«Un matematico che non è anche un po' un poeta non sarà mai un matematico completo.»

«Ogni matematico degno di tale nome ha sperimentato... lo stato di lucida esaltazione nel quale un pensiero si sussegue a un altro come per miracolo... Questa sensazione può durare per delle ore di fila, anche per dei giorni. Una volta sperimentata, brami di ripeterla: ma non ci puoi risucire a piacere, tranne forse lavorando accanitamente.»

«Dio esiste perché la matematica è consistente, e il diavolo esiste perché non lo possiamo dimostrare.»

«Il rigore è per i matematici quello che la moralità è per gli uomini.»

«Si dice che la storia della matematica dovrebbe procedere come l'analisi musicale di una sinfonia. Ci sono un certo numero di temi, ed è più o meno possibile vedere quando ciascuno di essi compare per la prima volta. Dopodiché ogni tema si sovrappone agli altri, e l'abilità artistica del compositore sta proprio nella sua capacità di gestirli tutti contemporaneamente. A volte il violino segue un particolare tema e il flauto un altro, poi le parti si invertono, e così via. La storia della matematica è esattamente la stessa cosa.»

«Niente è più fecondo, tutti i matematici lo sanno, di quelle vaghe analogie, quegli oscuri riflessi che rimandano da una teoria all'altra, quelle furtive carezze, quelle discrepanze inesplicabili: niente dà un piacere più grande al ricercatore.»

«L'algebra e il denaro sono essenzialmente livellatori; il primo intellettualmente, il secondo effettivamente.»

«L'altra eccezione più importante è il profondo effetto culturale della scoperta, che risale al lavoro di Newton, che la natura è governata strettamente da leggi matematiche impersonali. Naturalmente rimane il compito di trovare le leggi giuste, e capire il loro raggio di validità; ma per quel che riguarda la cultura o la filosofia le differenze tra le teorie della gravitazione di Newton o Einstein o tra la meccanica classica e quella quantistica è irrilevante.»

«Le preghiere per i condannati a morte verranno porte su un'addizionatrice. I numeri costituiscono l'unico linguaggio universale.»

«La nostra tassa federale sul reddito definisce la tassa y che si deve pagare in termini del reddito x; lo fa in un modo davvero goffo, appiccicando diverse funzioni lineari, ciascuna valida in un diverso intervallo del reddito. Un archeologo che tra cinquemila anni dissotterrerà alcuni dei nostri moduli delle tasse insieme a resti di lavori di ingegneria e libri di matematica, predaterà quei moduli di alcuni secoli, e li riterrà certamente precedenti a Galileo e Vieta.»

«Non apprezziamo molto quando siamo forzati ad accettare una verità matematica per tutta una complicata catena di conclusioni e calcoli formali, che attraversiamo ciecamente, passo passo, muovendoci al tatto. Noi vogliamo prima una visione dello scopo e del percorso; vogliamo comprendere l'idea della dimostrazione, il contesto che ci sta sotto.»

«Una dimostrazione matematica moderna non è molto differente da una macchina moderna, o da un moderno ambiente di prova; i semplici principii fondamentali sono nascosti e quasi invisibili sotto una massa di dettagli tecnici.»

«I costrutti della mente matematica sono allo stesso tempo liberi e necessari. Il singolo matematico è libero di fare le sue definizioni e stabilire i propri assiomi come vuole. Ma poi bisogna vedere se riesce a interessare i suoi colleghi matematici ai costrutti della sua immaginazione. Non possiamo non sentire che certe strutture matematiche che si sono evolute attraverso gli sforzi combinati della comunità matematica portano il marchio di una necessità non affetta dagli accidenti della loro nascita storica. Chiunque guardi lo spettacolo dell'algebra moderna sarà colpito da questa complementarità di libertà e necessità.»

«Il mio lavoro ha sempre cercato di unire il vero al bello; quando ero costretto a scegliere, in genere sceglievo il bello.»

«... i numeri non hanno né sostanza né significato né qualità. Non sono nient'altro che segni, e tutto quello che è in loro ce l'abbiamo messo noi con la semplice regola della successione diretta.»

«Senza i concetti, i metodi e i risultati trovati e sviluppati delle generazioni precedenti arrivando fino agli antichi greci, non si possono comprendere né gli scopi né i risultati della matematica negli ultimi cinquant'anni.»

«La logica è l'igiene che il matematico pratica per mantenere le sue idee forti e in salute.»

«La logica è l'igiene che i matematici praticano per mantenere le proprie idee in salute e forti.»

«Nessuno dopo Newton è stato in grado di usare i metodi geometrici con la stessa ampiezza o per scopi simili; e leggendo i Principia ci sembra di essere in un'armeria antica dove le armi sono di dimensioni gigantesche; e guardandole ci meravigliamo di che razza di uomo fosse uno che poteva usare come arma ciò che noi riusciremmo a stento a sollevare come semplice peso.»

«Questa scienza della geometria è un riferimento indispensabile e costante per tutti gli studiosi delle leggi della natura [...] Ma a parte l'interesse e l'importanza che la geometria possiede in questo campi, essa ha un grande e peculiare valore per tutti quelli che desiderano capire i fondamenti della conoscenza umana, e i metodi attraverso cui la si ottiene. Perché lo studioso di geometria acquisisce, con un grado di chiarezza e acutezza che il non matematico a fatica riesce a immaginare, una salda convinzione nell'esistenza di verità necessarie.»

«La scienza della matematica pura ... può vantarsi di essere la creazione più originale dello spirito umano.»

«La matematica come scienza nacque quando per la prima volta qualcuno, probabilmente un greco, dimostrò delle proposizioni su "qualunque" cosa o su "certe" cose, senza specificare delle cose particolari definite.»

«Per quanto riguarda il semplice fornire informazione, nessuna università ha avuto una qualsivoglia giustificazione per la sua esistenza dopo la popolarizzazione della stampa nel quindicesimo secolo.»

[In riferimento alla morte di Archimede] «Nessun romano morì mai in contemplazione di un disegno geometrico.»

«La vita è un'offensiva, condotta contro il meccanismo ripetitivo dell'universo.»

«Non c'è natura in un singolo istante.»

«Ammettiamo che lo scopo della matematica è una divina pazzia dello spirito umano, un rifugio dagli stimoli e dall'urgenza degli avvenimenti contingenti.»

«C'è una tradizione di opposizione tra gli aderenti all'induzione e alla deduzione. Per come la vedo io, ha la stessa ragion d'essere di una lite tra le due estremità di un verme.»

«È una verità profondamente errata, anche se ripetuta da tutti i testi e dai personaggi eminenti che si mettono a fare discorsi, che dovremmo coltivare l'abitudine di pensare a quello che stiamo facendo. È esattamente l'opposto. La civiltà avanza estendendo il numero di operazioni importanti che possiamo compiere senza doverci pensare su.»

«Le nostre menti sono finite, ed eppure anche in queste circostanze di finitezza siamo circondati da possibilità che sono infinite, e lo scopo della vita è afferrare quanto più si può di questa infinitezza.»

«Nei tempi moderni la credenza che la spiegazione ultima di tutte le cose potesse essere trovata nella matematica newtoniana era un segno premonitore della verità che tutta la scienza, mentre tende alla perfezione, diventa matematica nelle sue idee.»

«L'algebra rovescia l'importanza relativa dei fattori nel linguaggio ordinario. È essenzialmente un linguaggio scritto, e si sforza di esemplificare nelle sue strutture scritte i modelli che è il suo scopo trasmettere. Il modello dei segni sulla carta è un caso particolare di quelloche deve essere trasmesso al pensiero. Il metodo algebrico è il nostro migliore approccio all'espressione della necessità, a causa della sua riduzione dell'accidente al carattere da fantasma della variabile reale.»

«Sollevando il cervello da tutto il lavoro non necessario, una buona notazione ci lascia liberi di concentrarci su problemi più avanzati, e in effetti incrementa il potere mentale della razza.»

«Tutte le cose importanti sono state dette in precedenza da qualcuno che non le scoprì.»

«Cerca la semplicità, e non fidartici.»

«Il progresso fondamentale ha a che fare con la reinterpretazione delle idee di base.»

«Pensiamo per generalità, ma viviamo nei dettagli.»

«A parte per la rude verità, le nostre vite affondano decadentemente tra i profumi di accenni e suggerimenti.»

«’La necessità è la madre dell'invenzione’ è un proverbio stupido. ’La necessità è la madre di futili espedienti’ è molto più vicino alla verità.»

«È più importante che una proposizione sia interessante, piuttosto che vera. Questa affermazione è quasi una tautologia. L'energia operativa di una proposizione nell'occasione della sua esperienza è il suo interesse, ed è la sua importanza. Ma naturalmente è più facile che sia interessante una proposizione vera piuttosto che una falsa.»

«La guerra può proteggere: non può creare.»

«Il progresso della Scienza consiste nell'osservare le interconnessioni e mostrare con un paziente ingegno che gli eventi di questo mondo continuamente cangiante sono soltanto esempi di alcune relazioni generali, chiamate leggi. Vedere il generale nel particolare, e il permanente nel transitorio, è lo scopo del pensiero scientifico.»

«Il mondo è sempre più infestato dalla quantità. Parlare in maniera sensata è parlare di quantità. Non basta dire che la nazione è grande... Quanto grande? Non basta dire che il radio è scarso... Quanto scarso? Non puoi evadere dalla quantità. Anche se voli via alla poesia e alla musica, quantità e numeri ti si pongono davanti nei tuoi ritmi e nelle tue ottave.»

«’Uno e uno fa due’ assume che i cambiamenti quando le circostanze mutano non sono importanti. Ma per noi è impossibile analizzare questa nozione di cambiamento non importante.»

«Non arrivo a dire che costruire una storia del pensiero senza uno studio profondo delle idee matematiche nelle varie epoche è come omettere Amleto dall'opera omonima. Questo sarebbe troppo. Ma è certamente analogo a tagliare la parte di Ofelia. Questa similitudine è singolarmente esatta, perché Ofelia è essenziale all'opera, è molto attraente... e un po' matta.»

«Lo studio della matematica ha la tendenza di iniziare con un disappunto... Ci dicono che con il suo aiuto si possono pesare le stelle e contare i miliardi di molecole in una goccia d'acqua. Eppure, come il fantasma del padre di Amleto, questa grandissima scelta sfugge agli sforzi delle nostre armi mentali per afferrarla.»

«Nello studio delle idee, è necessario ricordare che l'insistenza per la caparbia chiarezza deriva da una sensazione sentimentale, come se fosse una nebbia che copre la perplessità dei fatti. L'insistenza sulla chiarezza a tutti i costi è basata su una mera superstizione sul modo in cui funziona l'intelligenza umana. I nostri ragionamenti si aggrappano a delle pagliuzze per le premesse, e galleggiano sui fili delle ragnatele per le deduzioni.»

«Non v'è errore più comune che l'assumere che, solo perché sono stati compiuti lunghi e accurati calcoli matematici, l'applicazione dei risultati a un qualche evento di natura sia assolutamente certo.»

«Accadono cose familiari, e l'umanità non si preoccupa di esse. Ci vuole una mente assai inusuale per intraprendere l'analisi dell'ovvio.»

«L'algebra è lo strumento intellettuale che è stato creato per rendere chiari gli aspetti quantitativi del mondo.»

«La scienza della matematica pura, nel suo sviluppo moderno, può rivendicare di essere la creazione più originale dello spirito umano.»

«Regola sicura: quando un matematico o un filosofo scrivono cose nebbiosamente profonde, enunciano delle assurdità.»

«L'intera matematica consiste nell'organizzazione di una serie di ausili all'immaginazione nel processo del ragionamento.»

«Il British Mathematical Colloquium consiste in tre giorni di matematica, senza cani né mogli.»

«Mi contraddico? Bene, allora mi contraddico. (Sono grande, contengo moltitudini).»

«Un professore è uno che può parlare su una qualunque materia... per esattamente cinquanta minuti.»

«Il fisico moderno è un teorico dei quanti il lunedì, mercoledì e venerdì, e uno studente di relatività gravitazionale il martedì, giovedì e sabato. Di domenica non è né l'uno né l'altro, ma prega il suo Dio che qualcuno, possibilmente lui stesso, trovi come riconciliare le due visioni.»

«Il progresso non solo impone nuove possibilità per il futuro, ma anche nuove restrizioni.»

«Il vantaggio è che la matematica è un campo in cui i nostri svarioni tendono a mostrarsi in modo molto evidente, e possono essere corretti o cancellati con un colpo di penna. È un campo che è spesso stato confrontato con gli scacchi, ma differisce da quest'ultimo perché qui sono solo i momenti migliori che contano, e non i peggiori. Una singola disattenzione può far perdere una partita a scacchi, mentre un singolo approccio riuscito a un problema, tra i molti che sono stati gettati nel cestino, possono stabilire la reputazione di un matematico.»

«Non c'è nulla di misterioso, come molti hanno cercato di far credere, sull'applicabilità della matematica. Cosa otteniamo per astrazione da qualcosa può essere restituito.»

«La matematica è nata e cresciuta in un ambiente culturale. Senza la prospettiva permessa dallo sfondo culturale, un vero apprezzamento del contenuto e dello stato della matematica odierna non è praticamente possibile.»

«Un monumento a Newton! un monumento a Shakespeare! Guarda come il Cielo osserva il Cuore Umano. Fino a quando i pianeti e le passioni, gli affetti e le stesse fisse, non si estingueranno, i loro nomi non possono morire.»

«Possiamo presentare spazialmente un fatto atomico che contraddica le leggi della fisica, ma nessuno che contraddica le leggi della geometria.»

«La matematica è un metodo logico... Le proposizioni matematiche non esprimono dei pensieri. Nella vita non abbiamo mai bisogno di una proposizione matematica, ma usiamo le proposizioni matematiche solo per inferire da proposizioni che non appartengono alla matematica altre che anch'esse non vi appartengono.»

«In logica non ci possono essere sorprese.»

«Non esistono indovinelli. Se si può fare una domanda, allora gli si può dare risposta.»

«Dopo aver guardato un temporale, alla domanda "quante gocce di pioggia hai visto?" la risposta più adatta è "molte": non che il numero preciso non esista, ma non lo si può conoscere.»

«Non necessariamente chi conosce una proposizione matematica conosce qualcosa.»

«Se [la matematica] ci insegna a contare, perché non ci insegna anche a confrontare i colori?»

«Un tizio [G.H. Hardy?] allarga il dominio della matematica: dà nuove definizioni e trova nuovi teoremi - e, da un certo punto di vista, si può dire che non sa quello che fa. Immagina vagamente di aver scoperto qualcosa simile a uno spazio (e a questo punto si pensa a una stanza), di aver aperto un nuovo regno, e se gli si chiedesse qualcosa al proposito direbbe una gran quantità di cose insensate.»

«Sentiamo dire, sempre e continuamente, che il matematico lavora con l'istinto (o magari che non procede meccanicamente, al modo di un giocatore di scacchi) ma non riusciamo a percepire che cosa questo abbia a che fare con la natura della matematica.»

«La stupida aspirazione all'eleganza è una delle cause principali per cui i matematici non comprendono le loro proprie operazioni; ossia: l'incomprensione e quell'aspirazione sgorgano da una sorgente comune.»

«La "logica matematica" ha completamente deformato il pensiero dei matematici e dei filosofi conferendo a un'interpretazione superficiale delle forme della nostra lingua usuale lo stato di analisi della struttura dei fatti.»

«Forse la natura non femminile della scienza le fece istintivamente nascondere il suo amore per essa. Ma la ragione più profonda è che nella sua mente la matematica era direttamente opposta alla letteratura. Non si sarebbe peritata di confessare quanto infinitamente avrebbe preferito l'esattezza, l'impersonalità astrale delle cifre alla confusione, agitazione e vaghezza della prosa più elevata.»

[la matematica]

«Nelle cose viste in un sol colpo, troppa varietà fa confusione, un altro vizio della bellezza. Nelle cose che non sono viste tutte insieme, e che non hanno relazione l'una con l'altra, avere una grande varietà è una buona cosa, ammesso che questa varietà non trasgredisca le regole di ottica e geometria.»