«Io esorto a studiare matematica pur chi si accinga a divenire avvocato o economista, filosofo o letterato...; perché io credo e spero che non gli sarà inutile saper bene ragionare e chiaramente esporre.»

«... la matematica di un matematico è profondamente personale.»

«L'oggetto della matematica pura consiste delle relazioni che possono essere concettualmente stabilite tra elementi comunque concepiti in modo arbitrario, assumento solo che siano contenuti in una molteplicità ordinaria.»

«Siamo generalmente convinti più facilmente dalle ragioni che abbiamo trovato da soli rispetto a quelle che gli altri ci danno.»

«Non ci preoccupiamo di essere rispettati nelle città dove ci limitiamo a passare. Ma se dobbiamo fermarci in una città per un certo tempo, ci preoccupiamo sì. Quant'è questo tempo?»

«L'uomo è pieno di desideri: ama solo chi glieli può soddisfare tutti. «Quest'uomo è un buon matematico», dirà qualcuno. Ma non ho preoccupazioni per la matematica: mi vuole per una proposizione. «Quell'uomo è un buon soldato». Mi vuole per una città in assedio. Ho insomma bisogno di un uomo decente che possa soddisfare tutti i miei desideri in una maniera per così dire generale.»

«La nostra nozione di simmetria è derivata dalla faccia umana. Pertanto, noi vogliamo la simmetria solo orizzontalmente e in ampiezza, non verticalmente né in profondità.»

«La contraddizione non è un segno di falsità, né la mancanza di contraddizione un segno di verità.»

«Tutti errano in maniera pericolosa perché ciascuno segue una verità. Il loro errore non sta nel seguire una falsità, ma nel non seguire un'altra verità.»

«La chiarezza perfetta farebbe bene all'intelletto ma danneggerebbe la volontà.»

«Chi è abituato a giudicare dalle sensazioni non comprende il processo del ragionamento, perché vuole comprendere con un'occhiata e non è abituato a cercare i princìpi primi. D'altro canto chi è abituato a ragionare dai princìpi primi non capisce per nulla le sensazioni, perché non è in grado di comprendere con un'occhiata.»

«Negare, credere, e dubitare bene stanno all'uomo come una corsa a un cavallo.»

«Le parole poste in maniera diversa hanno significato diverso, e significati posti in maniera diversa hanno effetto diverso.»

«La natura è una sfera infinita della quale il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.»

«Noi arriviamo alla verità non solo con la ragione ma anche col cuore.»

«Quando le passioni diventano padrone, sono dei vizi.»

«Non è certo che tutto sia certo.»

«L'ultimo passo della ragione è il riconoscere che c'è un numero infinito di cose oltre di essa.»

«Per mezzo dello spazio, l'universo mi cattura e inghiotte come un bruscolino; per mezzo del pensiero lo catturo io.»

«Che nessuno dica che non ho detto nulla di nuovo... il modo con cui ho trattato l'argomento è nuovo. Quando giochiamo a tennis, giochiamo entrambi con la stessa palla, ma uno di noi la piazza meglio.»

«L'eccitazione di un giocatore quando scommette è pari alla quantità di soldi che potrebbe vincere moltiplicato per la probabilità di vincere.»

«Il ragionamento è il metodo lento e tortuoso con il quale coloro che non conoscono la verità la possono scoprire. Il cuore ha il suo proprio ragionamento, che la ragione non conosce.»

«Reverendi padri, le mie lettere non arrivano di solito a intervalli così ravvicinati, né sono così lunghe... Questa non sarebbe stata così lunga, avessi avuto il tempo di renderla più breve.»

«L'ultima cosa che si sa quando si scrive un libro è cosa mettere per primo.»

«Che cos'è l'uomo nella natura? Nulla in relazione all'infinito, tutto in relazione al nulla, un qualcosa di mezzo tra il nulla e il tutto.»

[Mi sento] «racchiuso nell'immensità infinita degli spazi di cui non conosco nulla, e che non conoscono nulla di me. Sono terrificato: l'eterno silenzio di questi spazi infiniti mi allarma.»

«Pesiamo i guadagni e le perdite nello scommettere che Dio esiste. Consideriamo le due possibilità. Se vinciamo, vinciamo tutto; se perdiamo, non perdiamo nulla. Non esitate perciò a scommettere sulla Sua esistenza.»

«Cerca da qualche altra parte qualcuno che può seguirti nelle tue ricerche sui numeri. Per quanto mi riguarda, confesso che sono ben oltre di me, e sono solo competente per ammirarli.» [scritto a Fermat]

«Più si è intelligenti, più si scoprono persone originali. La gente ordinaria non trova alcuna differenza tra gli uomini.»

«Per quanto vaste siano le risorse spirituali di un uomo, costui è capace di un'unica grande passione.»

«Ci sono due tipi di menti ... quella matematica, e quella che potremmo chiamare l'intuitiva. La prima arriva lentamente alle sue vedute, ma esse sono stabili e rigide; l'altra è dotata di maggior flessibilità e si applica simultaneamente alle diverse parti amabili di quello che ama.»

«Questa tendenza [enfatizzare la matematica applicata rispetto a quella pura] farà diventare la matematica non più regina ma sgualdrina delle scienze.»

«Il caso favorisce solo la mente preparata.»

[Scritto in una recensione] «Il fatto che l'autore pensi lentamente non è importante, ma il fatto che pubblichi più in fretta di quanto pensi non ha scusanti.»

«[L'aritmetica] può essere solo considerata una scienza di suggerinenti, a cui si adattano i principi e le operazioni dell'algebra, che però non li limita né li determina.»

«Il matematico, trasportato dal suo fiume di simboli, trattando quelle che sembrano verità puramente formali, può però raggiungere risultati di importanza senza fine per la nostra descrizione dell'universo fisico.»

«La scienza moderna, addestrando la mente a un'analisi esatta e imparziale dei fatti, è un tipo di educazione particolarmente adatta a promuovere l'educazione civica.»

«La geometria è un'arte degli occhi e delle mani, e non solo della mente.»

«La matematica è la scienza che trae conclusioni necessarie.»

«Uno [il logico] studia la scienza di trarre conclusioni, l'altro [il matematico] la scienza che trae conclusioni necessarie.»

«... la matematica si distingue da tutte le altre scienze eccetto l'etica per non avere alcun bisogno dell'etica. Ogni altra scienza, persino la logica, soprattutto nei suoi stadi iniziali, corre il pericolo di evaporare nelle eteree quisquilie, degenerando, come dicono i tedeschi, in una tela di ragno, tessuta della sostanza di cui sono fatti i sogni. Non c'è un simile rischio per la matematica pura; questo è esattamente ciò che essa dovrebbe essere.»

«Tra le caratteristiche minori eppure impressionanti della matematica occorre menzionare la costruzione scarna e scheletrica delle sue proposizioni; la difficoltà peculiare, la complicazione e la fatica dei suoi ragionamenti; l'esattezza perfetta dei suoi risultati; la loro universalità; la loro infallibilità pratica.»

«Il pragmatico sa che il dubbio è un'arte che deve essere appresa con difficoltà.»

«Una singolare conseguenza della concezione - che ha prevalso per gran parte della storia della filosofia - per cui il ragionamento metafisico dovrebbe essere simile a quello matematico, solo ancora più matematico, è stata che matematici sani di mente hanno creduto di essere qualificati - in quanto matematici - a discutere di filosofia: e non si trova metafisica peggiore della loro.»

«Questa branca della matematica [la probabilità] è l'unica, credo, in cui dei bravi scrittori ottengono generalmente risultati completamente errati.»

«Tutti gli eventi umani si basano sulle probabilità, e la stessa cosa vale ovunque.»

«[La matematica] è lo studio di costruzioni ideali (spesso applicabili a problemi reali) e la scoperta attraverso di esso di relazioni prima sconosciute tra le parti di queste costruzioni.»

«Credo che il calcolo delle probabilità sia l'unica branca della matematica in cui buoni autori ottengono spesso risultati completamente sbagliati.»

«Certo il triangolo di Kandinsky è ben diverso da quello di Euclide, ma è pur sempre matematica.»

«È difficile parlare di matematica con chi non è del mestiere. Forse più del matematico, dovrebbe essere il filosofo o l'artista a parlare del rapporto fra matematica e società, storia, arte o gioco, portando in primo piano il suo alto valore culturale.»

«Se non ci fossero cose non computabili, il concetto di computabilità non avrebbe molto interesse in matematica: i matematici, dopo tutto, amano i rompicapo.»

«Assolutamente fondamentali per la struttura della meccanica quantistica, i numeri complessi sono perciò basilari per il funzionamento del mondo stesso in cui viviamo. Essi costituiscono anche uno dei grandi miracoli della matematica.»

«Il rapporto fra tali numeri "reali" e la realtà fisica non è così diretto o vincolante come potrebbe sembrare a tutta prima, implicando, come fa, un'idealizzazione matematica o un affinamento infinito per cui non c'è una chiara giustificazione a priori in natura.»

«Non posso però impedirmi di pensare che, nel caso della matematica, gli argomenti per credere in una possibile esistenza eterea, eterna, almeno per i concetti matematici più profondi, siano assai più forti di quelli che inducono a parlare di scoperta negli altri casi citati dell'attività umana.»

«La convinzione che si possa fare a meno del significato di enunciati matematici, considerandoli nient'altro che sequanze di simboli in qualche sistema matematico formale, è il punto di vista matematico del formalismo. Qualche persona ama quest'iedea, per cui la matematica diventa una specie di "gioco senza significato". Io non la trovo però affatto gradevole. È infatti il "significato" - e non un cieco calcolo algoritmico - a dare alla matematica la sua sostanza. Per fortuna, Gödel inflisse al formalismo un colpo devastante!»

«La nozione di verità matematica va al di là dell'intero concetto di formalismo. Nella verità matematica c'è qualcosa di assoluto e di "divino".»

«La reale verità matematica va oltre le mere costruzioni prodotte dall'uomo.»

«È degno di nota che tutte le teorie superbe della natura si siano rivelate straordinariamente feconde come fonti di idee matematiche. C'è un mistero bello e profondo nel fatto che queste teorie superbamente esatte siano anche straordinariamente feconde semplicemente dal punto di vista matematico.»

«Spesso, quando si fa matematica, ci si sforza di trovare algoritmi, ma questo sforzo stesso non sembra essere un procedimento algoritmico.»

«Uno dei caratteri più sorprendenti della matematica (che è forse quasi unica soto questo aspetto fra le varie discipline) è quello che la verità di proposizioni può essere realmente stabilita per mezzo di ragionamenti astratti!»

«Il punto essenziale della nostra tradizione e della nostra formazione matematica è che noi non dobbiamo mai inchinarci all'autorità di qualche oscura regola che non potremo mai sperare di capire. Noi dobbiamo vedere - almeno in linea di principio - che ogni passo in un ragionamento può essere ridotto a qualcosa di semplice e di ovvio. La verità matematica non è un dogma orrendamente complicato la cui validità è sottratta alla nostra comprensione: essa è costruita con ingredienti semplici e ovvi, e, una volta che li abbiamo compresi, la loro verità risulta chiara e viene accettata da tutti.»

«Una bella idea ha molte più probabilità di essere giusta di una brutta idea.»

«I fatti sono ostinati, ma le statistiche sono più flessibili.»

«I numeri governano l'universo.»

«Se qualcuno afferma che riesce a pensare ai problemi quantistici senza rimanere stordito, dimostra solo che non ha capito che cosa siano.»

«Un'importante innovazione scientifica raramente si impone vincendo persuadendo man mano i suoi oppositori: non capita spesso che Saulo diventi Paolo. Quello che capita in pratica è che i suoi oppositori gradualmente muoiono, e che la nuova generazione ha familiarità fin dall'inizio con le nuove idee.»

«Un'importante innovazione scientifica si fa strada raramente vincendo man mano e convertendo gli oppositori: capita di rado che Saulo diventi Paolo. Quello che capita è che i suoi opponenti man mano muoiono, e che la nuova generazione è familiare con quelle idee fin dall'inizio.»

«Chi sa propriamente definire e dividere deve essere considerato un dio.»

«Lo stato risibile della geometria solida mi ha fatto lasciar perdere questa branca.»

«Non è degno del nome dell'uomo colui che non sa che la diagonale di un quadrato è incommensurabile con il suo lato.»

«La matematica è come la dama: è adatta ai giovani, non troppo difficile, divertente, e senza pericoli per lo stato.»

«La conoscenza che la geometria cerca è quella dell'eterno.»

«Non ho praticamente mai incontrato un matematico capace a ragionare.»

«Rimangono ancora tre tipi di studio adatti per l'uomo libero. L'aritmetica è uno di essi.»

«Dio geometrizza sempre.»

«[I matematici] si servono e discorrono di figure visibili, ma non pensando a queste, sì invece a quelle di cui queste sono copia [...] per cercare di vedere quelle cose in sé che non si possono vedere se non con il pensiero.»

[su Archimede:] «... essendo perpetuamente incantato dalla sua sirena personale, vale a dire dalla sua geometria, tralasciava di mangiare e bere e non si prendeva per nulla cura della sua persona; era spesso portato a forza ai bagni, e quando era là si metteva a tracciare figure geometriche nelle ceneri, e a disegnare righe sul suo corpo quando veniva unto, rimanendo in uno stato di grande estasi e divinamente posseduto dalla sua scienza.»

«I Pitagorici hanno in odio il diciassette più di ogni altro numero, e lo chiamano "ostacolo". Esso infatti cade fra il sedici, che è un quadrato, e il diciotto, che è un rettangolo, i soli fra i numeri a formare figure piane che abbiano il perimetro uguale all'area; il diciassette si pone come un ostacolo fra di loro, e li separa uno dall'altro, e spezza la proporzione di uno e un ottavo in intervalli disuguali.»

[A proposito dei suoi colleghi scrittori Cornelius Mathews e William Ellery Channing] «Parlando algebricamente, M. è ’execrable’, ma C. is ’(x+1)-ecrable’.»

«La matematica è l'arte di dare lo stesso nome a cose diverse.» [opposto alla citazione "La poesia è l'arte di dare nomi diversi alla stessa cosa"].

«Le future generazioni considereranno la Mengenlehre (la teoria degli insiemi) come una malattia dalla quale siamo guariti.» [Gli storici della matematica dibattono ancora se la frase sia stata davvero pronunciata]

«Ma cos'è poi che ci dà la sensazione di eleganza in una soluzione, in una dimostrazione? È l'armonia delle diverse parti, la loro simmetria, il loro felice equilibrio: in una parola, è tutto quello che introduce un ordine, quello che dà unità, che ci permette di vedere chiaramente e comprendere in un sol colpo l'insieme e i dettagli.»

«Sia quindi ben chiaro che per dimostrare un teorema non è necessario e nemmeno vantaggioso sapere che cosa significhi. Il geometra potrebbe essere rimpiazzato dal "pianoforte logico" immaginato da Stanley Jevons; o se si preferisce si può immaginare una macchina dove le assunzioni vengono poste a un suo capo, mentre i teoremi escono fuori dall'altro: come nella leggendaria macchina di Chicago dove i maiali entrano vivi ed escono trasformati in prosciutti e salsicce. Il matematico non ha più bisogno di sapere quello che sta facendo di quanto ne abbiano queste macchine.»

«Discorso con Hermite. Non evoca mai un'immagine concreta, eppure cominci subito a percepire che le entità più astratte sono per lui delle creature vive.»

«La scienza è costruita con i fatti, come una casa lo è con le pietre. Ma una collezione di fatti non è scienza, proprio come una collezione di pietre non è una casa.»

«Uno scienziato degno di tal nome, e specialmente un matematico, sperimenta nel suo lavoro la stessa sensazione di un artista; il suo piacere è della stessa intensità e natura.»

«I fatti matematici che vale la pena studiare sono quelli che, in analogia ad altri fatti, sono in grado di portarci alla conoscenza di una legge fisica. Essi rivelano la parentela tra altri fatti, noti da lungo tempo, ma che si credeva erroneamente fossero l'un l'altro stranieri.»

«I matematici non studiano oggetti, ma relazioni tra gli oggetti. In questo modo sono liberi di rimpiazzare alcuni oggetti con altri, fintantoché le relazioni rimangano immutate. Per loro il contenuto è irrilevante: sono solamente interessati alla forma.»

«Il pensiero è solo un lampo tra due lunghe notti, ma quel lampo è tutto.»

«La mente usa le sue capacità per la creatività solo quando l'esperienza la obbliga a fare così.»

«Le scoperte matematiche, piccole o grandi che siano, non nascono mai da una generazione spontanea. Presuppongono sempre un terreno seminato con una conoscenza preliminare e ben dissodato dalla fatica, sia conscia che inconscia.»

«Lo spazio assoluto, vale a dire il paletto al quale sarebbe necessario che la terra faccia riferimento per sapere se si muove davvero, non ha esistenza oggettiva... Le due proposizioni ’La terra ruota su sé stessa’ e ’Risulta più conveniente supporre che la terra ruoti su sé stessa’ hanno lo stesso significato; non c'è nulla in più in una rispetto all'altra.»

«...per selezione naturale la nostra mente si è adattata alle condizioni del mondo esterno. Ha adottato la geometria più vantaggiosa per la specie, o in altre parola la più conveniente. La geometria non è vera, è vantaggiosa.»

«... gli adepti trovano nella matematica gioie analoghe a quelle date da pittura e musica. Essi ammirano l'armonia delicata di numeri e forme; sono stupiti quando una nuova scoperta schiude loro una prospettiva nuova; e la gioia che provano, non ha forse il carattere di un'estasi, anche se i sensi non ne prendono parte? Solo pochi privilegiati possono goderla pienamente, è vero; ma non capita lo stesso con tutte le arti più nobili?»

«Matematici si nasce, non si diventa.»

«Una realtà completamente indipendente dallo spirito che la genera, la vede, o la sente, è un'impossibilità; un mondo talmente esterno a noi che, anche se esistesse, ci sarebbe per sempre inaccessibile.»

«Le combinazioni utili sono precisamente quelle più belle, intendo quelle maggiormente in grado di incantare. Tale incanto è la sensibilità speciale che tutti i matematici conoscono, ma di cui il profano è così ignorante che spesso è tentato di sorriderci su.»

«A volte la logica crea mostri.»

«"La géométrie est l'art de bien raisonner sur des figures mal faites." — la geometria è l'arte di ragionare correttamente sopra figure mal disegnate.»

«"La logistique n'est plus stérile : elle engendre la contradiction." — "La logica non è più sterile: ha generato la contraddizione." »

«La vita è utile solo per due cose: scoprire matematica e insegnare matematica.»

«La matematica non può essere definita senza riconoscerne la caratteristica più importante: la matematica è interessante. In nessun altro campo la bellezza intellettuale è sentita così profondamente, in nessun altro campo è apprezzata tanto puntigliosamente nei suoi vari gradi e qualità, quanto in matematica. Ed è solo questa valutazione informale del valore matematico che puo distinguere ciò che è matematica da un'accozzaglia di enunciati e operazioni che - sia pur formalmente simili - sono del tutto banali e privi di interesse.»

«La matematica consiste nel provare la cosa più ovvia nel modo meno ovvio.»

«Il professore di matematica tradizionale nelle storielle popolari è distratto. Appare di solito in pubblico con un ombrello scassato per mano. Preferisce guardare in faccia la lavagna e dare la schiena alla classe. Scrive a, dice b, intende c; ma dovrebbe essere d. Alcune delle cose che dice sono tramandate di generazione in generazione:»

«- Per risolvere questa equazione differenziale bisogna osservarla fino a che vi arriva una soluzione.»

«- Questo principio è così perfettamente generale che nessuna sua applicazione particolare è possibile.»

«- La geometria è la scienza dei ragionamenti corretti sulle figure scorrette.»

«- Il mio metodo per superare una difficoltà è girarci intorno.»

«- Qual è la differenza tra metodo e trucco? Un metodo è un trucco che usi due volte.»

«La matematica è la scienza più economica. A differenza di fisica o chimica, non richede materiali costosi. Tutto ciò di cui si ha bisogno per la matematica è carta e matita.»

«Ci sono molte domande che degli stupidi possono fare a cui i saggi non possono rispondere.»

«Se introdotta al momento o posto sbagliato, la logica può essere il peggior nemico del buon insegnamento.»

«Anche studenti abbastanza bravi, dopo che hanno ottenuto la soluzione del problema e scritto ordinatamente la dimostrazione, chiudono i libri e cercano qualcos'altro. Facendo così, perdono una fase importante e istruttiva del lavoro... Un buon insegnante dovrebbe comprendere e inculcare ai propri studenti che nessun problema di qualsivoglia tipo viene completamente sviscerato. Uno dei primi e principali doveri di un insegnante è non dare ai suoi studenti l'impressione che i problemi matematici abbiano poca connessione tra di loro, e nessuna connessione con null'altro. Abbiamo un'opportunità naturale di investigare le connessioni di un problema quando riguardiamo la sua soluzione.»

«Per tradurre una frase dall'inglese al francese servono due cose. Innanzitutto dobbiamo comprendere bene la frase inglese. Poi dobbiamo essere usi alle forme di espressione peculiari per il francese. La situazione è molto simile quando cerchiamo di esprimere in simboli matematici una condizione proposta in parole. Per prima cosa dobbiamo comprendere perfettamente la condizione. Quindi dobbiamo avere familiarità con le forme di espressione matematica.»

«Se non potete risolvere il vostro problema, costruitevene uno correlato che potete risolvere.»

«La matematica rifinita, presentata in forma rifinita, sembra essere qualcosa di puramente deduttivo, fatto solo di dimostrazione. Eppure la matematica, nel suo farsi, assomiglia ad ogni altra conoscenza umana nel suo farsi. Bisogna indovinare il teorema, prima di poterlo dimostrare; bisogna avere un'idea della dimostrazione prima di poterne sviluppare i dettagli. Bisogna combinare osservazione e seguire analogie; bisogna provare e riprovare.»

[Epitaffio su Newton:]

[Sir John Collings Squire aggiunse: "Non durò: il Diavolo urlando «»Oh, // che Einstein sia», restaurò lo status quo"]

«Una delle cose più piacevoli sui matematici è quanto facciano per evitare di fare del lavoro vero.»

[sui costruttori di torri per le comunicazioni] «Ma quanto stava accadendo ora... questo era magico. Uomini ordinari lo avevano sognato e messo in piedi, costruendo torri su zattere nelle paludi ed attraverso le creste congelate delle montagne. Bestemmiarono, e peggio, usarono i logaritmi. Guadarono fiumi e si immersero nella trigonometria. Non avevano sognato, nel senso che la gente di solito usa la parola, ma hanno immaginato un mondo diverso, e piegato il metallo intorno ad esso. E da tutto il sudore e le imprecazioni e la matematica era uscita questa... cosa, gocciolante attraverso il mondo parole morbide come la luce delle stelle.»

«Pertanto questa è la matematica: ti fa ricordare le forme invisibili dell'anima; dà vita alle loro scoperte; risveglia la mente e purifica l'intelletto; porta alla luce le nostre idee intrinseche; abolisce l'oblio e l'ignoranza che sono nostre per nascita.»

«È ben noto che l'uomo che per primo rese nota la teoria degli irrazionali morì in un naufragio, perché l'inesprimibile e l'immaginabile rimanessero per sempre nascosti. E così quel colpevole, che per caso toccò e rivelò questo aspetto delle cose viventi, fu portato al posto dove nacque, e lì è flagellato per sempre dalle onde.»

«Ma tu pensa ad Adamo ed Eva come una specie di numero immaginario, come la radice quadrata di meno uno; non potrai mai vedere nessuna prova concreta della sua esistenza, ma se la includi nelle tue equazioni potrai calcolare tutta una serie di cose che in sua assenza non si potrebbero neppure concepire.»

«Il teorema del Valor Medio è la levatrice dell'analisi - non è molto importante o incantevole di suo, ma spesso aiuta a far nascere altri teoremi di grande importanza.»

«L'ispirazione è necessaria in geometria tanto quanto in poesia.»

[Il matematico]«asserisce soltanto che certe cose sono possibili e altre impossibili - in un'accezione forte ed esclusivamente matematica di "possibile" e "impossibile".»