[A un amico esitante sugli infinitesimi] «Vai avanti... e la fede tornerà presto.»

«La metafisica e la matematica sono, tra tutte le scienze nel dominio della ragione, quelle in cui l'immaginazione ha il ruolo maggiore. Mi perdonino quei delicati spiriti che sono detrattori della matematica se io dico questo... L'immaginazione in un matematico che crea non è affatto differente da quella di un poeta che inventa... Tra tutti i grandi dell'antichità, Archimede potrebbe essere colui che merita maggiormente di essere posto accanto a Omero.»

«Giovane pittore, SÌ, SÌ, SÌ e SÌ! Devi, soprattutto da giovane, usare la geometria come guida alla simmetria nella composizione delle tue opere. So che i pittori piu o meno romantici sostengono che queste impalcature matematiche uccidono l'ispirazione dell'artista, dandogli roppo su cui pensare e riflettere. Non esitare un attimo a rispondere loro prontamente che, al contrario, è proprio per non avere da pensare e riflettere su queste cose, che tu le usi.»

«Il matematico può essere paragonato a un designer di abiti, che si disinteressa completamente delle creature a cui essi stanno a pennello. Per la precisione, la sua arte ebbe origine con la necessità di vestire tali creature, ma questo è capitato molto tempo fa; oggi può però capitare una figura che indossa quel vestito come se fosse stato fatto apposta per lui; e allora la sorpresa e il piacere sono senza fine.»

«Non possiamo trovare un criterio per la realtà del concetto di numero né all'interno del mondo soggettivo né in quello oggettivo, perché il primo non contiene tale concetto, e il secondo non contiene nulla scevro da esso. Come possiamo allora arrivare a un criterio? Non dall'evidenza, dato che i dadi dell'evidenza sono truccati. Non per la logica, visto che la logica non ha esistenza indipendente dalla matematica: è solo una fase di quella necessità moltiplicata che chiamiamo matematica. Come si possono allora giudicare i concetti matematici? Non verranno giudicati. La matematica è l'arbitro supremo: le sue decisioni non amettono appello. Non possiamo cambiare le regole del gioco, e non possiamo nemmeno verificare se il gioco sia equo. Possiamo solo studiare il giocatore mentre gioca; ma non con l'atteggiamento distaccato di uno spettatore, perché stiamo guardando le nostre menti giocare.»

«Quando, dopo un torpore di mille anni, il pensiero europeo si scosse via gli effetti del sonnifero amministratogli dai Padri Cristiani, il problema dell'infinito fu uno dei primi ad essere riportato in vita.»

«Ogni nuova parte di conoscenza è matematica nella forma, dato che non abbiamo altra guida possibile.»

«La matematica sembra dotarci di una specie di nuovo senso.»

«La questione dell'infinito ha portato la matematica sull'orlo dell'incertezza.»

«I numeri sono dei catalizzatori che possono aiutare a cambiare dei pazzi furiosi in umani educati.»

«Uno degli innumerevoli aspetti seducenti della matematica è che i suoi paradossi più spinosi possono sbocciare in bellissime teorie.»

«Si inizia a sentir dire che la prima guerra mondiale è stata quella dei chimici, la seconda quella dei fisici, e la terza (Dio non voglia che accada!) sarà quella dei matematici.»

«Parlando dell'aritmetica (dell'algebra, dell'analisi) come una parte della logica intendo implicare che considero il concetto di numero interamente indipendente dalle nozioni o intuizioni dello spazio e del tempo; che lo considero un risultato immediato delle leggi del pensiero.»

«Queste cose matematiche hanno una meravigliosa neutralità, e anche una strana condivisione tra le cose soprannaturali e le cose naturali.»

«Non c'è (gentile lettore) nulla (tralasciando solo le opere di Dio) che renda così tanto bella e adorni l'anima e la mente dell'uomo come la conoscenza delle belle arti e delle scienze. [...] Ci sono molte arti che abbelliscono la mente dell'uomo; ma nessuna di esse la guarnisce e abbellisce che quelle chiamate matematiche, alla cui conoscenza nessuno può arrivare, senza conoscenza perfetta e istruzione dei principi, fondamenti ed elementi della Geometria.»

«Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto.»

«Io penso che all'origine della creatività ci sia quella che io chiamo la capacità o la disponibilità a sognare; a immaginare mondi diversi, cose diverse, cercando di combinarle nella propria immaginazione in vario modo»

«La matematica è l'unico materiale di istruzione che può essere presentato completamente scevro da dogmi.»

«È più facile la quadratura di un cerchio che il riuscire a convincere un matematico.»

[a chi gli chiedeva l'età] «Avevo x anni nell'anno x².»

«Ogni scienza che ha prosperato l'ha fatto sui suoi propri simboli: la logica, l'unica scienza che a quanto sembra non ha fatto progressi al passare dei secoli, è l'unica che non ha creato simboli.»

«La forza che muove l'invenzione matematica non è il ragionamento ma l'immaginazione.»

«Il motto che adotterei contro un percorso studiato per fermare il progresso delle scoperte sarebbe "ricordatevi di √(-1)"»

«È davvero meraviglioso che con metodi così primitivi per scrivere i numeri questi popoli antichi [babilonesi ed egizi] siano riusciti a progredire a tal punto. Ma forse è ancora più stupefacente il fatto che nei secoli seguenti avanzarono così poco.»

«Sono situazioni come queste [di Diofanto] che ci fanno accorgere di come il pensiero matematico sia profondamente innaturale. Anche per un concetto così di base come quello dei numeri negativi occorsero secoli per rendersi chiaro nelle menti dei matematici, con molti stadi intermedi di comprensione.»

«L'estrema lentezza dei progressi nel mettere insieme un'algebra simbolica testimonia il livello assai alto trattato da questa materia. La meraviglia, parafrasando un detto del Dr. Johnson, non è che ci abbiamo messo così tanto a imparare a fare queste cose; la meraviglia è che ci siamo riusciti.»

«Il computo della soluzione generale dell'equazione cubica dava ancora problemi insuperabili, richiedendo i numeri complessi. Cardano può averlo intuito, e ne vide la necessità. Lo fece in maniera esitante e incompleta, con molti dubbi, il che non ci deve sorprendere. Anche i numeri negativi erano ancora sentiti un po' misteriosi. I numeri immaginari e complessi dovevano essere sembrati senza alcun dubbio occulti. (Lo sono ancora per molti).»

«Se sommate 3 e 5, ottenete 8; la tre-ità del 3 e la cinque-ità del 5 si sono fuse e perse nell'otto-ità dell'8, come due gocce d'acqua che si uniscono. Se però sommate 3 a 5i, ottenete il numero complesso 3+5i, una goccia d'acqua e una d'olio - indipendenza lineare.»

«Non è proprio vero che, come si sente dire spesso, i matematici non facciano alcun lavoro originale dopo i trent'anni, ma è generalmente vero che il loro stile di pensiero, e i temi che attraggono maggiormente il loro interesse, si possono trovare nei loro scritti giovanili.»

«Ai suoi tempi i musicisti consideravano [Alexandre-Théofile] Vandermonde un matematico e i matematici lo vedevano come un musicista.»

«Dopo una mezza dozzina di generazioni di lavoro con il simbolismo letterale di Viète e Cartesio, i matematici avevano iniziato a comprendere che la composizione di numeri mediante l'addizione e la moltiplicazione per ottenere altri numeri è solo un caso particolare di un tipo di manipolazione che può essere applicata in maniera molto più ampia, a oggetti che possono non essere affatto numeri. Quei simboli erano diventati così comuni che potevano significare qualunque cosa: numeri, permutazioni, vettori di numeri, insiemi, rotazioni, trasformazioni, proposizioni... Quando ciò fu interiorizzato, l'algebra moderna nacque.»

«I romanzi matematici non sono esattamente, per dirla in maniera molto gentile, una categoria ampia o prominente della letteratura.»

«Se gli anni 1890 sono stati il Decennio Mauve, gli anni 1840 sono stati, perlomeno tra i matematici, il Decennio Multidimensionale.»

«Gibbs ed Heavyside erano fisici, non matematici, e avevano il modo di porsi empirico che quegli snob dei matematici puri deplorano. Volevano semplicemente dell'algebra che funzionasse. Se ciò significava far cascare la mannaia sui quaternioni di Hamilton, l'avrebbero fatto senza alcuna remora.»

«La nazione dell'Italia, come la conosciamo oggi, nacque negli anni 1860 a seguito del Risorgimento, movimento di consapevolezza nazionale che fiorì intorno alla metà del XIX secolo. Sollevati così dalle distrazioni dell'avere una propria nazione, gli italiani ripresero la loro grande tradizione, riempiendo la fine del XIX secolo con alcuni importanti studiosi: Enrico Betti, Francesco Brioschi, Luigi Cremona, Eugenio Beltrami.»

«Nel gergo matematico l'opposto di analitico è combinatorico.»

«La matematica analitica è un brano musicale legato, che scivola senza crepe tra spazi continui; la matematica combinatorica è uno staccato, che salta senza pensarci su un attimo da intero a intero.»

«Il paradosso che si nasconde nella topologia brouweriana è che i risultati che ottenne andavano contro la tendenza della sua filosofia. Questo non sarebbe importato piu di tanto a un matematico ordinario, ma Brouwer era un matematico molto filosofico, ossessionato dalle idee metafisiche o meglio antimetafisiche.»

«Man muss jederzeit an Stelle von "Punkten, Geraden, Ebenen", "Tische, Stühle, Bierseidel" sagen können. [Si può sempre dire al posto di "punti, rette, piani" "tavoli, sedie, boccali di birra"]. Hilbert è molto adatto alle citazioni.»

«Un matematico può doversi trovare a scegliere fra metodi semi-giusti che permettono al suo pensiero di svilupparsi, e metodi rigorosi che lo frenano. Nessuna delle due strade è priva di rischi, ma vale la pena di correrli.»

«Ogni problema che ho risolto è diventato una regola che mi è servita in seguito a risolvere altri problemi.»

«Se sono riuscito a scoprire nuove verità nelle scienze, posso affermare che derivano, o dipendono, da cinque o sei problemi di base che sono riuscito a risolvere, e che considero come battaglie nelle quali la fortuna bellica è stata dalla mia parte.»

«Conclusi che potevo prendere come regola generale il principio che tutte le cose che possiamo concepire con chiarezza e in maniera ovvia sono vere: l'unica osservazione è che c'è qualche difficoltà nel determinare correttamente gli oggetti che concepiamo.»

«Ho pensato che le seguenti quattro [regole] sarebbero state sufficienti, sempre che io avessi preso la decisione risoluta e invariabile di non mancare nemmeno una volta alla loro osservanza. La prima era di non accettare come vera una qualunque cosa per cui non avessi sufficiente evidenza del suo esserlo; cioè, evitare attentamente precipitazione e pregiudizi, e giudicare solamente quello che si presentava ala mia mente in maniera così chiara e distinta da non avere modo di dubitarne. La seconda, di dividere ogni problema che esaminavo in tante parti quante necessarie, e richieste per la sua soluzione. La terza, dirigere i miei pensieri in maniera ordinata; iniziando con gli oggetti più semplici, quelli più adatti ad essere conosciuti, e salendo man mano, con tutti i passi necessari, alla conoscenza dei più complessi; e stabilendo un ordine nel pensiero anche se gli oggetti non avessero alcuna priorità relativa tra di essi. L'ultima, di eseguire enumerazioni talmente complete e ricerche così generali che io potessi essere certo di non tralasciare nulla.»

«Queste lunghe catene di ragionamenti perfettamente semplici e facili, per mezzo dei quali i geometri sono abituati a portare avanti le loro dimostrazioni più complicate, mi hanno portato a immaginare che tutto quanto può far parte della conoscenza umana formi una simile successione; e che fintanto che evitiamo di accettare come vero ciò che non lo è, e preserviamo sempre la deduzione di una cosa da un'altra, non vi è nulla di così remoto che non possa essere alla fine raggiunto, o di così ben nascosto che non possa essere scoperto.»

«Scrivendo di argomenti trascendentali, siate trascendentalmente chiari.»

«Se noi possedessimo una conoscenza completa di tutte le parti del seme di un qualunque animale (ad esempio l'uomo), da lì potremmo con metodi interamente matematici e certi dedurre l'intera conformazione e aspetto di ciascuna delle sue membra; inversamente, se conoscessimo le varie peculiarità della sua conformazione, potremmo da esse dedurre la natura del suo seme.»

«Spero che i posteri mi giudicheranno con benignità, non solo per le cose che ho spiegato ma anche per quelle che ho omesso intenzionalmente, per lasciare agli altri il piacere della scoperta.»

«I numeri perfetti, come gli uomini perfetti, sono assai rari.»

««Omnia apud me mathematica fiunt» - Da me tutto diventa matematica.»

«Al di sopra di tutto mi piacevano le matematiche, per la certezza e l'evidenza delle loro ragioni, ma non riuscivo ancora a determinarne il vero uso e, pensando che servissero solo alle arti meccaniche, mi domandavo stupito perché su fondamenti così saldi non si fosse ancora costruito qualche cosa di rilievo.»

«Da ciò si vede chiaramente perché l'Aritmetica e la Geometria sono di gran lunga più certe di altre discipline; esse sole, infatti, trattano di un oggetto abbastanza puro e semplice da non accettare nulla che l'esperienza abbia reso incerto ed esse sole, in generale, consistono in una serie di conseguenze razionalmente deducibili. L'Aritmetica e la Geometria sono dunque le più facili e le più chiare di tutte, sì che sembra impossibile che l'uomo possa sbagliarsi in esse, se non per inavvertenza. [...] Coloro che cercano la retta via della verità non debbono interessarsi ad alcun oggetto di cui non possano avere una certezza pari alle dimostrazioni dell'Aritmetica e della Geometria.»

«Per esempio, quando io immagino un triangolo, sebbene non ci sia forse in alcun luogo del mondo una tale figura fuori dal mio pensiero, e non ci sia mai stata, non perciò tuttavia cessa di esservi di questa figura una certa natura, o forma o essenza determinata, la quale è immutabile ed eterna; né io l'ho inventata, né dipende dal mio spirito in alcun modo; come appare chiaro dal fatto che si possono dimostrare diverse proprietà di questo triangolo, e cioè che i suoi tre angoli sono uguali a due reti, che l'angolo più grande è sotteso al lato più grande, ed altre simili, le quali ora, sia che lo voglia o no, riconosco con tutta chiarezza ed evidenza essere in esso, sebbene non vi avessi pensato per l'innanzi in alcun modo, quando per la prima volta mi sono immaginato un triangolo; e pertanto non si può dire che le abbia composte ed inventate io.»

«Dovrebbe esistere una scienza generale che spieghi tutto quello che si può conoscere sull'ordine e sulla misura, considerate indipendentemente da ogni applicazione a un particolare soggetto [...] e invero questa scienza ha un nome proprio, consacrato da un lungo uso, vale a dire matematica.»

«Supponiamo di definire approssimativamente una religione come una disciplina le cui basi poggiano su un elemento di fede, indipendentemente da un qualunque elemento di ragione che possa essere presente. La meccanica quantistica sarebbe ad esempio una religione con questa definizione. La matematica avrebbe allora l'unica posizione di essere la sola branca della teologia a possedere una dimostrazione rigorosa del fatto che debba essere classificata in tale modo.»

«Un matematico è una persona per la quale la matematica è una soap opera. [...] I "personaggi" della soap opera della matematica non sono persone ma, appunto, oggetti matematici: numeri, figure geometriche, gruppi, spazi topologici, eccetera. I fatti e le relazioni al centro dell'attenzione non sono nascite, morti, matrimoni, relazioni sentimentali e rapporti d'affari, ma fatti matematici e relazioni tra oggetti matematici. Qual è la relazione tra gli oggetti X e Y? Gli oggetti del tipo X hanno tutti la proprietà P? Quanti oggetti di tipo Z esistono?»

«Dall'età dell'antica Grecia fino al XIX secolo inoltrato, matematici e filosofi - per non dire della miriade di dilettanti appassionati - hanno pensato che la quadratura del cerchio fosse un problema difficile, ma non impossibile. Molti, in effetti, hanno supposto che i matematici avessero manifestato una specifica patologia. I sintomi principali di questa malattia, chiamata morbus cyclometricus, sono l'offuscamento della vista, l'insonnia, numerose punzecchiature (causate dallo scivolamento del compasso) e, naturalmente, cerchi sotto gli occhi. Non è nota alcuna cura.»

«La principale attività della ricerca matematica è la caccia a nuovi teoremi.»

«Se mai sentiste il bisogno di esagerare in un'affermazione, potreste sempre dire: "La spesa pubblica cresce più velocemente della funzione di Ackermann".»

«Il modo in cui faccio matematica è molto simile alla magia. In entrambe le discipline hai un problema che devi cercare di risolvere rispettando dei vincoli. In matematica sono i limiti di un'argomentazione logica costruita con gli strumenti che hai a disposizione, e nel caso della magia significa usare i tuoi strumenti e la tua destrezza per produrre un certo effetto senza che il pubblico si renda conto di quello che stai facendo. Il processo intellettivo nei due campi è quasi lo stesso. Una cosa che distingue magia e matematica è la competizione. In matematica la competizione è molto più dura che nel mondo della magia.»

«Crediamo nella realtà della matematica, ma naturalmente quando i filosofi ci attaccano con i loro paradossi corriamo a ripararci dietro il formalismo e diciamo: "La matematica è solo una combinazione di simboli senza significato" e tiriamo fuori i capitoli 1 e 2 della teoria degli insiemi. Quando finalmente ci lasciano in pace, ritorniamo alla nostra matematica e la facciamo come abbiamo sempre fatto, provando la sensazione (che ogni matematico prova) di lavorare con qualcosa di reale. Sensazione che è probabilmente un'illusione, ma molto comoda. Questo è l'atteggiamento di Bourbaki nei confronti dei fondamenti.»

[il suo epitaffio] «Questa tomba contiene Diofanto. Quale meraviglia! La tomba dice scientificamente la misura della sua vita. Dio garantì che sarebbe rimasto bambino per un sesto della sua vita; aggiungendone un dodicesimo, sulle sue guance crebbe la barba; Dio gli offrì le gioie del matrimonio dopo un settimo, e nel quinto anno dopo il matrimonio gli donò un figlio. Ahimé! Figlio tardo e misero, quando egli raggiunse la misura della metà della vita di suo padre, la gelida tomba lo rapì. Dopo avere consolato il suo dolore con la scienza dei numeri per quattro anni, anch'egli raggiunse la fine della propria vita.»

«Penso che in questa storia ci sia una morale, che cioè sia più importante avere bellezza nelle proprie equazioni piuttosto che averle in accordo con gli esperimenti. Se Schroedinger fosse stato più fiducioso del suo lavoro, avrebbe potuto pubblicarlo alcuni mesi prima, e avrebbe potuto pubblicare un'equazione più accurata. Parrebbe che se uno lavora dal punto di vista di ottenere bellezza nelle proprie equazioni, e ha una visione solida, è su una linea certa di progresso. Se non c'è accordo completo tra i risultati del proprio lavoro e gli esperimenti, non bisogna lasciarsi scoraggiare troppo, perché la discrepanza può benissimo essere dovuta a punti minori che non sono stati considerati correttamente, ed essa verà eliminata con ulteriori sviluppi della teoria.»

«La matematica è lo strumento adatto specialmente a trattare i concetti astratti di ogni tipo, e non c'è limite alla sua potenza in questo campo.»

«La scienza tenta di dire alla gente, in modo da essere compresi da tutti, qualcosa che nessuno prima conosceva. La poesia fa esattamente l'opposto.»

«Un libro sulla nuova fisica, se non è una pura descrizione di un lavoro sperimentale, deve essere essenzialmente matematico.»

«Questo risultato è troppo bello per essere falso; è più importante avere delle belle equazioni che averle in accordo agli esperimenti.»

«Ci sono tre tipi di bugie: bugie, dannate bugie, e statistiche.»

«Il guaio della matematica è che tu credi di sapere dove vuoi arrivare: però non solo alla fine non sai dove sei arrivato, ma non sei più nemmeno sicuro da dove eri partito.»

«Il proverbiale "matematico folle" era più realtà che fanntasia, Vidi i grandi esponenti della regina delle scienze come falene attirate da luce sovrumana, splendida ma ostile e distruttiva. Alcuni non avevano potuto sopportarla a lungo, come Pascal e Newton, che abbandonarono la matematica per la teologia. Altri ancora avevano scelto a caso improvvisate vie d'uscita - viene subito in mente la folle audacia di Evariste Galois, che lo condusse a morte prematura. Ci furono poi cervelli straordinari che cedettero e crollarono: Georg Cantor, il padre della Teoria degli insiemi, trascorse l'ultima parte della vita in manicomio. Ramanujan, Hardy, Turing, Gödel e tanti altri si avvicinarono troppo a questa luce, si bruciarono le ali, caddero e morirono.»

«La deduzione è, o dovrebbe essere, una scienza esatta, e dovrebbe essere trattata nella stessa maniera fredda e priva di emozioni. Avete tentato di mischiarla col romanticismo, il che produce più o meno lo stesso effetto che se aveste aggiunto un innamoramento o una fuga d'amore nel quinto postulato di Euclide.»

«Un logico può predire l'Atlantico o il Niagara da una goccia d'acqua.»

«È un errore madornale formulare teorie quando non si hanno dati sufficienti.»

«Mentre una singola persona è un intrico incomprensibile, nell'aggregato diventa una certezza matematica. O così dicono le statistiche.»

«I meri poeti sono istupiditi come degli ubriachi, che vivono in una nebbia perpetua, senza vedere o giudicare nulla chiaramente. Un uomo dovrebbe essere versato in diverse scienze, e dovrebbe avere una testa ragionevole, filosofica e in un certo senso matematica, per essere un poeta completo ed eccellente.»

«Quando gli chiesero in quanto tempo si aspettava di ottenere certe conclusioni matematiche, Gauss replicò che le aveva già da tempo, e che quello che lo preoccupava era come raggiungerle!»

«La logica, come il whisky, perde i suoi effetti benefici quando assunta in quantità troppo alte.»

«L'unica ragione per cui certi tipi di pittori non comprendono i loro errori è che non hanno appreso la Geometria, senza la quale nessuno può essere o divenire un vero artista; ma la colpa di ciò deve essere imputata ai loro insegnanti, che sono anch'essi ignoranti di tale arte.»

«Chiunque .. provi il suo punto, e dimostri geometricamente le verità prime, dovrebbe essere creduto da tutto il mondo, perché così ci rende prigionieri.»

«E siccome la geometria è la vera base di tutta la pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principii a tutti i giovincelli che bramano l'arte...»

«Sono profondamente conscio del fatto che il matrimonio tra matematica e fisica, che è stato così fruttuoso nei secoli passati, è recentemente terminato con un divorzio.»

«Per un fisico, la matematica non è solo uno strumento per mezzo del quale si possono computare dei fenomeni; è la fonte principale di concetti e principii, per mezzo dei quali vengono create nuove teorie.»

«Il nocciolo della questione per i matematici è che l'architettura dev'essere quella giusta. In tutta la matematica che ho fatto, il punto essenziale era trovare l'architettura giusta. È come costruire un ponte. Una volta che le linee principali della struttura sono corrette, i dettagli vanno miracolosamente a posto. Il problema è il progetto generale.»