Direi che l’identità che cerchiamo è quella di d’Ocagne
F_m F_{n+1} – F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n} per n=m-2, ossia:
F_m F_{m-1} – F_{m+1} F_{m-2} = (-1)^m
che è quella che stiamo cercando e che in effetti si può ricavare anche dall’altra. Infatti, da
F_m F_m – F_{m+1}F_{m-1} = -(-1)^m
si ottiene dalla formula di ricorsione
F_m (F_{m+1}-F_{m-1}) – F_{m+1}(F_m-F_{m-2}) = -(-1)^m
da cui semplificando
F_m F_{m-1} – F_{m+1}F_{m-2} = (-1)^m.
Però appunto c’è un pochino di lavoro da fare.