Arbelo

Costruiamo il triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il diametro del semicerchio dove c'è l'arbelo e come terzo vertice il punto in cui il semicerchio rosso tocca la semicirconferenza simmetrica a quella dell'arbelo. Per il primo teorema di Euclide sappiamo che l'altezza relativa all'ipotenusa di questo triangolo è il medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa: chiamando 2a e 2b queste proporzioni e 2c l'altezza, abbiamo pertanto ab = c². Ora, l'area del semicerchio rosso è πc²/2, mentre quella dell'arbelo è data da quella del semicerchio grande meno quella dei due semicerchi piccoli, quindi π(a+b)²/2 − πa²/2 − πb²/2 = πab = πc². Pertanto il rapporto tra le due aree è indipendente da x e vale 2.

Un'ultima parola

Non ve l'aspettavate, vero?