Frazioni egizie

Cominciamo col mostrare che esiste almeno un modo di ottenere 1/p some somma di due frazioni egizie. Il primo addendo che si può testare è 1/(p+1); se sottraiamo questo valore da 1/p otteniamo 1/p(p+1), e quindi la scomposizione esiste. Prendiamo ora l'uguaglianza indicata nel testo, (a−p)(b−p) = p². I fattori di p² sono 1, p e p²; pertanto i due fattori a sinistra possono essere solo 1 e p² oppure p e p. Il secondo caso si elimina perché renderebbe identici a e b; il primo dà la decomposizione voluta.
Per il caso 2/p, scriviamo subito 2/p = 1/a + 1/b come (2a−p)(2b−p) = p². Come nel caso precedente abbiamo (2a−p) = p² e (2b−p) = 1 (o viceversa), e quindi ricaviamo la decomposizione

2/p = 1/½(p²+p) + 1/½(p+1)

A prima vista i denominatori non sono numeri interi, ma poiché p è un primo dispari per ipotesi i fattori sono entrambi pari, e quindi anche dimezzandoli si ha un intero.

Un'ultima parola

Ci sono molte congetture non ancora risolte sulle frazioni egizie. Quella di Erdős-Straus afferma che una frazione 4/n può sempre essere scritta come somma di tre frazioni egizie: 1/a + 1/b + 1/c. La congettura è stata testata per tutti i numeri fino a 10¹⁴, ma non si ha una dimostrazione.