Equazione diofantea

Se ordiniamo a ≤ b ≤ c abbiamo che a ≤ 6, altrimenti la somma delle tre frazioni è sicuramente minore di 1/2. Allo stesso tempo, a > 2, altrimenti la somma è sicuramente maggiore di 1/2. Dobbiamo considerare quattro casi:

1. a = 3. In questo caso abbiamo 1/b + 1/c = 1/2 − 1/3 = 1/6, cioè c = 6b/(b − 6). Pertanto b − 6 | 6b, ma dato che b − 6 | (6b − 36) possiamo affermare che b − 6 | 36. I casi possibili per (a, b, c) sono pertanto (3,7,42), (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), (3,12,12).
2. a = 4. 1/b + 1/c = 1/4, cioè c = 4b/(b − 4). Pertanto b − 4 | 4b, ma dato che b − 4 | (4b − 16) possiamo affermare che b − 4 | 16. Con il vincolo b ≤ c abbiamo che i casi possibili per (a, b, c) sono pertanto (4,5,20), (4,6,12), (4,8,8).
3. a = 5. Come nei casi precedenti, otteniamo che 3b − 10 | 100. L'unica soluzione possibile, ricordando che a ≤ b ≤ c, è (a, b, c) = (5,5,10).
4. a = 6. Questo è il caso più facile: l'unica soluzione possibile è (a, b, c) = (6,6,6).

Ci sono pertanto 10 soluzioni possibili.

Un'ultima parola

Rispetto alla settimana scorsa i conti sono più complicati...