Inversi dei numeri triangolari

Sappiamo che l'n-simo numero triangolare T_n è dato da n(n+1)/2. Il suo inverso è pertanto 2/n(n+1). Ma sappiamo che 1/n(n+1) = 1/n − 1/n+1. Se sommiamo tutti gli inversi dei numeri triangolari, possiamo raccogliere un fattore 2 e vedere che tranne il primo addendo del primo numero, cioè 1/1, tutti gli altri si eliminano. Pertanto la somma è 2. Per completezza dovremmo anche controllare che la somma iniziale effettivamente converga: ma quello è facile, perché la successione delle somme parziali è ovviamente crescente ed è sempre della forma 2 − 1/k.

Un'ultima parola

Il problema è stato risolto inizialmente da Leibniz, mica cotiche.