Scambio di posti

Una possibile soluzione è mostrata nella figura qui sotto: in pratica i due ragazzi allo stesso livello orizzontale si scambiano di posto.

Un'ultima parola

La soluzione è chiaramente utilizzabile per un qualunque numero dispari di ragazzi. Nel caso di un numero pari di ragazzi, il compito è impossibile per ragioni di parità. Se infatti abbiamo 2n ragazzi, la somma dei loro numeri iniziali è n(2n+1). La somma dei loro numeri finali è 2n(2n+1)-2kn; il numero sottratto serve perché un numero k non noto a priori di essi saranno passati oltre la posizione 1. Eguagliando questi due valori e semplificando, otteniamo l'equazione 2k = 2n+1 che non ha soluzioni intere per k, qualunque sia il valore di n.