Tante cifre

Se l'esponente fosse 1, avremmo 2 e 5: due cifre in tutto. Con l'esponente 2 abbiamo 4 e 25: tre cifre; con l'esponente 3 e 4 abbiamo rispettivamente 8 e 125 (quattro cifre) e 16 e 625 (5 cifre). Non è che con l'esponente 2025 avremo in tutto 2026 cifre? La risposta è affermativa, e la dimostrazione non è difficile: basta prendere i logaritmi in base 10. Abbiamo infatti che il numero di cifre di 2²⁰²⁵ è ceil(log(2²⁰²⁵)) e quello di 5²⁰²⁵ è ceil(log(5²⁰²⁵)), dove la funzione ceil() ritorna l'intero immediatamente superiore al suo argomento (se l'argomento fosse un numero intero ritornerebbe quel numero, ma a parte nel caso dell'esponente 0 non capita mai). Se sommiamo i due numeri dobbiamo moltiplicare i logaritmi e otteniamo log(10²⁰²⁵) + 1 = 2025 + 1 = 2026 (i due ceil danno solo un addendo 1, perché stavolta sì che il numero ottenuto è un intero).

Un'ultima parola

Passare ai logaritmi ci fa capire perché quando le cifre della nuova potenza di 2 aumentano quelle della equivalente potenza di 5 restano costanti e viceversa: è appunto perché il loro prodotto è la successiva potenza di 10.