Disuguaglianza

Avendo un pi greco tra i piedi, la trigonometria dovrebbe essere la prima scelta da fare. Consideriamo allora l'arco di cerchio AB in figura, assieme con il triangolo AOB, dove OA = AB = 1. Se l'angolo AOB misura θ radianti, per definizione anche l'arco AB misura θ radianti. Per la legge dei coseni (c² = a² + b² − 2ab cos γ) abbiamo che c = √(2 − 2 cosθ). Ora, sappiamo che un arco è più lungo della corda corrispondente; se quindi sostituiamo a θ il valore π/12 abbiamo π/12 > √(2 – 2 cos (π/12)) = √(2 – 2 √([1 + cos π/6]/2)) = √(2 – 2 √([1 + √3/2]/2)) = √(2 – √(2 + √3)). Pertanto π/12 è il valore maggiore tra i due.

Un'ultima parola

Notate che arrotondando alla quarta cifra decimale abbiamo π/12 = 0,2618 mentre √(2 – √(2 + √3)) = 0,2611. Insomma, calcolarlo ad occhio non sarebbe stato semplicissimo!