Evitate i quadrati

Per ogni numero k nella cui fattorizzazione non c'è nessun fattore con un esponente almeno uguale a 2 considerate l'insieme S_k di tutti i prodotti di k per un quadrato perfetto. Se moltiplichiamo due numeri qualunque in un dato S_k, otterremo un quadrato perfetto; in compenso se moltiplichiamo due numeri uno in S_k e uno in S_h con h≠k avremo per costruzione un fattore primo che è presente solo in uno dei due insiemi e non nell'altro, e quindi il prodotto non potrà essere un quadrato. Basta pertanto contare quanti sono i k possibili tra i numeri da 1 a 30: essi sono 1, i numeri primi (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), i prodotti 2·3, 2·5, 2·7, 2·11, 2·13, 3·5, 3·7 e 2·3·5. In totale ce ne sono 19.

Un'ultima parola

In problemi come questo, l'importante è riuscire a suddividere astutamente i numeri dell'insieme di partenza.