Area uguale al perimetro

Supponiamo che l'ipotenusa del triangolo sia a e i suoi cateti b e c. Allora la sua area sarà bc/2; uguagliandola ad a+b+c otteniamo 2a=bc−2b−2c. Elevando al quadrato questa uguaglianza, e sostituendo ad a² il suo valore b²+c³, ricaviamo
4b²+4c²=b²c²+4b²+4c².4bc².4b²c+8bc che dopo aver semplificato e diviso per bc dà
bc−4b−4c+8 = 0
da cui c = (4b−8)/(b−4) = 4 + 8/(b−4).
Le uniche radici intere positive di questa equazione si hanno per b = 5, 6, 8, 12; le prime due danno la coppia (b,c) = (5,12) e (6,8), mentre le altre due sono simmetriche.

Un'ultima parola

Non so se sia un caso che i due triangoli ottenuti siano i più semplici tra quelli rettangoli, anche se il secondo è un suo multiplo.