Tutti tre

La somma delle cifre da 1 a 9 � 45; visto che per la parit� l'ordine in cui stanno le cifre � irrilevante, e il risultato ha somma delle cifre dispari, sappiamo che il numero di prestiti deve essere pari. (Un prestito toglie un'unit� e lascia intatta la parit� della sottrazione). Se non ci fossero prestiti, i numeri nelle varie colonne dovrebbero essere scelti tra le terne 7-4-1, 8-5-2 e 9-6-3; ma abbiamo solo tre terne e quattro sottrazioni da fare, quindi � impossibile. Se ci fossero quattro prestiti, visto che non possiamo avere uno 0 tra i numeri, il sottraendo pu� avere solo 7,8,9 come cifre: di nuovo, avendo quattro numeri da riempire, la cosa � impossibile. Pertanto sappiamo che i prestiti sono due.
A questo punto sappiamo che la differenza tra la somma delle cifre al minuendo e quelle al sottraendo dev'essere 5·3.2·9=.3, perch� ogni volta che c'� un prestito si toglie dieci ma si deve sommare 1. Pertanto la somma delle cifre del minuendo � 21, e quelle del sottraendo � 24. Ora, 7, 8 e 9 non possono essere tutte al sottraendo, perch� la loro somma � 24. Non pu� esserci una sola delle tre cifre, perch� l'unica possibilit� per le cifre del minuendo sarebbe avere 4, 5, 6, 9 e non si potrebbero avere due prestiti; tanto meno non pu� capitare che non ci sia nessuna di quelle tre cifre. Pertanto ci sono due cifre tra 7, 8 e 9. Se le due cifre fossero 8 e 9, la somma delle altre due cifre sarebbe 7. Esse non potrebbero essere {3,4}, perch� una di quelle due cifre deve essere nella posizione corrispondente ad a. Non possono essere {2,5}, perch� il 5 dovrebbe essere sottratto da 8 oppure da 9; e non possono essere {1,6}, perch� il 6 dovrebbe essere sottratto da 9. Le due cifre del sottraendo non possono essere nemmeno 7 e 8; il 7 richiederebbe infatti al minuendo 1 e pertando l'8 richiederebbe il 2. Ma allora il 5 non potrebbe essere accoppiato a nessun numero; non 1,2,8 perch� gi� usati, non 9 perch� ci sarebbe un terzo prestito.
Pertanto nel sottraendo ci sono 7 e 9; per arrivare a 24 manca una somma di 8, che non pu� essere ottenuta come 1+7 (il 7 � gi� usato) n� 2+6 (il 6 richiederebbe un 9 nella cifra corrispondente del minuendo) e quindi sar� 3+5. In definitiva al sottraendo abbiamo le cifre 3,5,7,9 e al minuendo 1,2,4,6,8. Chiaramente a=4; 7 deve essere sottratto da 1, 9 da 2, 3 da 6 e 5 da 8. Visto che il 4 deve dare un prestito, abbiamo anche che b=1 e c=2. Le ultime due coppie (8-5 e 6-3) possono essere scambiate tra loro, quindi le due risposte possibili sono 41286−7953=33333 e 41268−7935=33333.

Un'ultima parola

Ho il sospetto che sia pi� facile andare a tentativi, ma almeno cos� si � certi di avere trovato tutte le soluzioni.