E pluribus unum

Il minimo valore per i denominatori delle altre due frazioni è 34; pertanto i due denominatori sono l'uno il doppio dell'altro. Le uniche coppie possibili per i denominatori sono (34, 68), (38, 76), (39, 78), (43, 86), (48, 96).
Siano ora i rispettivi numeratori a e b, e consideriamo per prima cosa la coppia (48, 96); la cifra più grande rimasta è 7, quindi la prima frazione è al più 7/12; ma sia 5/48 + 3/96 che 3/48 + 5/96 sono meno di 5/12, quindi la coppia è esclusa. Inoltre 2a+b (che è al massimo 26) deve avere un fattore maggiore di 12 dei denominatori, se ne hanno, per eliminarlo dalla loro somma e poter ottenere 1 aggiungendogli la prima frazione. In questo modo si elimina subito la coppia (43, 86) che ha un fattore 43.
Per (38, 76) dobbiamo avere 19 come fattore; restano disponibili 4, 5 e 9, l'unica possibilità sarebbe a=5 e b=9, ma allora la prima frazione sarebbe 4/12 e la somma darebbe 7/12. Per (39, 78) il fattore da eliminare è 13; restano disponibili 4, 5, 6, l'unica possibilità sarebbe a=4 e b=5, ma la somma totale è 2/3. Funziona invece (34, 68), che dà la somma 9/12 + 5/34 + 7/68.

Un'ultima parola

Il problema era stato originariamente dato con tutti asterischi: risolverlo a mano secondo me è virtualmente impossibile. Se voi ci riuscite, ditemelo...