Un primo di mezzo

Dall'equazione abbiamo p|xy. Poiché l'equazione è simmetrica in x e y, possiamo supporre p|x e quindi scrivere x=ap. L'equazione diventa così
p(ap+y)=pay ⇒ y = pa/(a−1)
Poiché a e a−1 sono primi tra loro, bisogna che a−1|p, e quindi a−1 = ±1 oppure a−1 = ±p. I quattro casi danno rispettivamente
i) a−1 = −1 ⇒ a = 0 ⇒ x = 0, y = 0
ii) a−1 = 1 ⇒ a = 2 ⇒ x = 2p, y = 2p
iii) a−1 = −p ⇒ a = p+1 ⇒ x = p(p+1), y = p+1
iv) a−1 = p ⇒ a = 1−p ⇒ x = p(1−p), = y = p−1
I casi iii) e iv) danno infine le soluzioni simmetriche x = p+1, y = p(p+1) e x = p−1, y = p(1−p)

Un'ultima parola

La divisibilità è sempre molto utile in questo tipo di problemi; ma anche la semplificazione dovuta alla simmetria non è affatto male.