Tentare la sorte

Notate innanzitutto che C e D sono indistinguibili e quindi possono essere collassati in un unico punto CD, sommando le loro probabilità relative. Inoltre si può vincere o perdere solo dopo un numero pari di mosse.
Dopo una mossa, si è certamente in A.
Dopo due mosse, si ha una probabilità 1/3 di perdere e 2/3 di essere in CD.
Dopo tre mosse, si ha probabilità 1/3 di essere in A e 1/3 di essere in B (il terzo che manca è perché si è già perso :-) )
Dopo quattro mosse, si ha probabilità 1/9 di perdere, 1/9 di vincere e 4/9 = 2²/3² di essere in CD.
A questo punto la probabilità di non avere ancora né vinto né perso è i 2/3 di quella del passo precedente, e ci si trova nello stesso punto. Dopo sei mosse, si ha pertanto probabilità (1/9)(2/3) di perdere, (1/9)(2/3) di vincere e 2³/3³ di essere in CD; dopo otto mosse le probabilità sono rispettivamente (1/9)(2/3)², (1/9)(2/3)² e 2⁴/3⁴; e così via.
Se il gioco non finisce in due sole mosse, la probabilità di vincere e di perdere è la stessa; visto che questo capita in due casi su tre, la probabilità di vincere è 1/3. Quanto alla durata attesa, essa vale (1/3)Σ_n≥1(2ⁿ⁻¹/3ⁿ⁻¹)(2n)) = Σ_n≥0(nⁿ/3ⁿ)(2n)); questa è una serie aritmo-geometrica la cui somma è 6.

Un'ultima parola

Si può anche constatare che lo schema è simmetrico, e che pertanto la probabilità di vincere in C e D è uguale a 1/2. Pertanto la probabilità di vincere partendo da A (tappa obbligata partendo da S) è 2/3*1/2=1/3. O, equivalentemente, la probabilità di perdere, partendo sempre da A, è 1/3*1+2/3*1/2=2/3.