Uno vale uno

Cominiciamo a considerare i numeri della forma 9, 99, 999, 9999, ... che possiamo scrivere come 10¹−1, 10²−1, 10³−1, 10⁴−1, ... Questa successione contiene un termine della forma 10^p−1. Ma per il piccolo teorema di Fermat 10^p−1 ≡ 1 (mod p) se p non divide 10 (e quindi è diverso da 2 e 5), quindi abbiamo un multiplo di p della forma 999...999. Se questo numero N ha k cifre, anche (10^k+1)N, (10^2k+10^k+1)N, (10^3k+10^2k+10^k+1)N, ... sono della stessa forma.
A questo punto, se p è diverso da 3 possiamo scrivere quei 999...999 come 9×111...111; se p divide il prodotto deve anche dividere uno dei due fattori, ed essendo primo con 9 deve dividere il secondo fattore. Resta dunque il caso 3; ma 37·3 = 111, 37037·3 = 111111 e così via.

Un'ultima parola

Questa proprietà è incredibile a prima vista, ma in fin dei conti se ci pensate un attimo non è che l'ennesima applicazione del principio dei cassetti...