Spazio 1999

Scriviamo gli elementi della prima riga come a₀, a₁, a₂, a₃, ... La seconda riga avrà allora a₀+a₁, a₁+a₂, a₂+a₃, a₃+a₄, ... La terza riga avrà a₀+2a₁+a₂, a₁+2a₂+a₃, a₂+2a₃+a₄, a₃+2a₄+a₅, ... La quarta riga avrà a₁+3a₂+3a₃+a₄, a₂+3a₃+3a₄+a₅, a₃+3a₄+3a₅+a₆, ... Si può dimostrare facilmente per induzione che il primo elemento della riga k+1 sarà B(k,0)a₀ + B(k,1)a₁ + ... + B(k,k)a_k, dove B(m,n) è il coefficiente binomiale e vale m!/m!m−n!. L'unico elemento della riga 2000 del nostro triangolo varrà B(1999,0)×0 + B(1999,1)×1 + B(1999,2)×2 + ... + B(1999,1999)×1999. Ma poiché 1999 è un numero primo, tutti i coefficienti binomiali devono essere suoi multipli e quindi anche la somma di tutti quegli addendi lo è.

Un'ultima parola

A volte è più semplice dimostrare un problema specifico lavorando su un caso più generale, come fatto qui.