Spazio 1999

Scriviamo gli elementi della prima riga come a0, a1, a2, a3, ... La seconda riga avrà allora a0+a1, a1+a2, a2+a3, a3+a4, ... La terza riga avrà a0+2a1+a2, a1+2a2+a3, a2+2a3+a4, a3+2a4+a5, ... La quarta riga avrà a1+3a2+3a3+a4, a2+3a3+3a4+a5, a3+3a4+3a5+a6, ... Si può dimostrare facilmente per induzione che il primo elemento della riga k+1 sarà B(k,0)a0 + B(k,1)a1 + ... + B(k,k)ak, dove B(m,n) è il coefficiente binomiale e vale m!/m!m−n!. L'unico elemento della riga 2000 del nostro triangolo varrà B(1999,0)×0 + B(1999,1)×1 + B(1999,2)×2 + ... + B(1999,1999)×1999. Ma poiché 1999 è un numero primo, tutti i coefficienti binomiali devono essere suoi multipli e quindi anche la somma di tutti quegli addendi lo è.

Un'ultima parola

A volte è più semplice dimostrare un problema specifico lavorando su un caso più generale, come fatto qui.


 
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