Candeline

Definiamo E[i] il valore medio del numero di soffi al variare di i e calcoliamolo esplicitamente per i piccolo. E[1] = 1 per ovvie ragioni, e per comodità possiamo anche dire E[0]=0 (se non ci sono candeline non dobbiamo soffiare!). Con due candeline, ho probabilità 1/2 di spegnerle tutte e 1/2 di spegnerne una sola e avere bisogno di un secondo soffio; quindi E[2] = 1 + 1/2(E[1]) + 1/2(E[0]) = 1 + 1/2. Con tre candeline, ho un terzo di probabilità di spegnerne 1, 2 oppure 3; quindi ho E[3] = 1 + 1/3(E[2]) + 1/3(E[1]) + 1/3(E[0]). In generale quindi, eliminando le frazioni, abbiamo

kE[k] = k + E[0] + E[1] + ... + E[k−1]

l modo più semplice per risolvere questa equazione alle ricorrenze è cercare di eliminare quanti più elementi possibile; aggiungendo 1 a k, abbiamo

(k+1)E[k+1] = (k+1) + E[0] + E[1] + ... + E[k].

Sottraendo da questa l'espressione precedente arriviamo a

(k+1)E[k+1] = 1 + (k+1)E[k]

e da qui si ottiene finalmente

E[k+1] − E[k] = 1/k

In definitiva, il valore atteso E[n] sarà pari a 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.

Un'ultima parola

La serie armonica spunta in casi a prima vista inaspettati, il che prova che è un costrutto naturale in matematica. Dal punto di vista tecnico è importante saper lavorare con le equazioni alle ricorrenze, e cercare di ridurre il più possibile il numero di variabili presenti per arrivare facilmente alla soluzione.