Lanciare fino a tre volte

Immaginiamo di essere arrivati al terzo lancio, e quindi dover accettare il valore ottenuto. In questo caso il valore atteso è per definizione (1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2. Torniamo ora indietro al secondo lancio: è di nuovo chiaro che ci conviene fermarci se facciamo 4, 5 oppure 6. Abbiamo dunque probabilità 1/2 di fermarci al secondo lancio con valore atteso (4+5+6)/3 = 5 e probabilità 1/2 di continuare con valore atteso 7/2; il valore atteso complessivo sarà la media (nemmeno pesata, visto che le probabilità sono le stesse), cioè 17/4. Arriviamo infine al primo lancio: ci converrà fermarci se otteniamo 5 oppure 6 (probabilità 1/3, valore atteso 11/2) oppure continuare nei casi rimanenti (probabilità 2/3, valore atteso 17/4). Il valore atteso complessivo sarà (1/3)(11/2) + (2/3)(17/4) = 11/6 + 17/6 = 28/6 = 14/3. La strategia di gioco, come visto, è la seguente: fermarsi al primo lancio se si ottiene 5 oppure 6, oppure al secondo lancio se in questo si ottiene 4, 5 oppure 6, altrimenti fare il terzo lancio.

Un'ultima parola

Rispetto alla strategia naif di fermarsi a caso si riesce a guadagnare più di un euro in più. Niente male, no?