Una strana funzione

Qualunque sia il valore di F(1), continuando ad applicare (i) otteniamo che F(0) deve essere più piccolo di un ε a piacere, e quindi valere 0; dunque per (ii) F(1) = 1, ancora per (i) F(1/3) = 1/2 e per (ii) F(2/3) = 1/2. Quindi la funzione rimane costante tra 1/3 e 2/3: tutto quello che serve è perciò usare le relazioni inverse di quelle indicate (moltiplicare per 3 e fare il complementare rispetto a 1) per giungere a un numero in quell'intervallo. Il passaggio è F(1/42)=(x) → F(1/14)=(2x) → F(3/14)=(4x) → F(9/14)=(8x) = 1/2, da cui F(1/42) = 1/16. Per la cronaca, il procedimento qui sopra non può essere usato con numeri tipo 1/13 che hanno una espressione in base 3 che non contiene 1 e quindi non avrà mai un valore in quell'intervallo; in quel caso però si arriva a un loop e si può così ricavare il valore di 2/7.

Un'ultima parola

Sono certo che vi sarà venuta in mente la polvere di Cantor e le rappresentazioni dei numeri in base 3.