Quanti primi!

Per risolvere il problema, si usa un procedimento simile a quello di Euclide. Vediamo innanzitutto che un numero della forma 3n−1 deve avere almeno un fattore della stessa forma. Se il numero è primo, la cosa è vera per definizione. Altrimenti consideriamo tutti i suoi fattori primi, e suddividiamoli tra quelli di forma 3n, 3n−1 e 3n+1. Nessun fattore può essere della forma 3n, perché altrimenti anche il prodotto lo sarebbe; né possono essere tutti della forma 3n+1, perché (3m+1)(3n+1) = 3(3mn+m+n)+1 e quindi non possiamo ottenere un totale della forma 3n−1; pertanto il numero ha un fattore della forma 3n−1.
A questo punto si ricicla l'argomento di Euclide: si suppone per assurdo che i numeri primi della forma 3n−1 siano un numero finito a, b, … k e si considera il numero 3(ab…k)−1, che per il risultato precedente o è primo o ha un fattore della forma 3n−1.

Un'ultima parola

I matematici amano riutilizzare le dimostrazioni trovate. Sono persone molto pigre.