Bilancia taroccata

Nel caso che la bilancia sia taroccata, la moneta più leggera verrà fatta risultare come più pesante. Ma allora il problema è isomorfo a quello di trovare qual è la moneta diversa (non si sa se più pesante o più leggera) tra dodici! Questo si può fare in tre pesate. Il metodo più semplice è usare una notazione in base 3 simmetrica (quella in cui le cifre sono -1, 0, 1). Le tre pesate sono le seguenti:

• (peso=9) Sinistra: 5,6,8,10 Destra: 7,9,11,12
• (peso=3) Sinistra: 2,3,4,7 Destra: 5,6,11,12
• (peso=1) Sinistra: 1,4,10,11 Destra: 2,5,7,8

Se la bilancia pende a sinistra, il peso corrispondente è positivo; se pende a destra è negativo. Sommando i pesi si ha il numero della moneta diversa; se il totale è positivo allora è più pesante altrimenti è più leggera tranne che per le monete 7,9,11 e 12 (quelle a destra nella prima pesata) nel qual caso capita l'opposto. Per esempio, se la moneta 8 è più leggera la prima pesata pende a destra (-8), la seconda è in equilibrio (0) e la terza pende a sinistra (1), per una somma di -9+1 = -8. Se a essere più leggera fosse la moneta 7, invece, avremmo sinistra (9), destra (-3), sinistra (1) la cui somma è 7; dobbiamo però cambiare il segno e ottenere il risultato voluto.

Un'ultima parola

Anche se si hanno tredici monete si può trovare quella falsa: se ne tiene da parte una e se tutte e tre le pesate sono in equilibrio allora la moneta falsa è quella lasciata da parte. Solo che non possiamo sapere se la bilancia è o no taroccata.