Perle e principesse

L'ultima figlia deve avere avuto un numero di perle multiplo di 6, visto che la penultima, oltre alla sua quota, se n'è presa un settimo del rimanente lasciandone i 6/7. Ne avrà dunque 6k. La penultima, che sarebbe la numero n−1 in ordine di età, ne avrà prese (n−1)+k, che è uguale a 6k: le perle che c'erano prima del suo turno erano quindi 12k. La terzultima ne ha prese (n−2)+2k che deve sempre essere pari a n+k; da qui si ottiene che k=1, n=6, e dunque le figlie erano 6 e le perle 36. È facile verificare che questa è effettivamente una soluzione, procedendo per induzione o facendo il conto diretto.

Un'ultima parola

Un modo per vedere graficamente che la soluzione funziona è mostrato nella figura qui sopra. Ci sono 36 cerchi più cinque ausiliari bianchi: ogni colonna corrisponde a una figlia, e come si vede dopo aver preso le k perle si possono spostare quelle rimaste nelle k righe a destra nelle k colonne a sinistra, in modo da avere sempre un multiplo di sette. In questo modo si capisce anche come il problema sia generalizzabile: se la parte di perle date dopo il numero fisso è 1/(n+1), ci sono n² perle e n figlie.