La scacchiera infetta

Innanzitutto, se si inizia con le dodici caselle di una diagonale maggiore infette, è facile vedere come man mano l'infezione si propaga sulle diagonali vicine fino a riempire tutta la scacchiera. Ma come dimostrare che con meno di dodici caselle inizialmente infette non si potrà ricoprire la tastiera? Semplice! (se si sa come fare...)

Consideriamo il perimetro totale dell'area infetta, e vediamo cosa succede. Ogni casella aggiunta ha quattro lati: però per definizione almeno due sono a contatto con un lato già infetto. Quindi aggiungendo una casella infetta il perimetro resta costante, oppure diminuisce (se i lati a contatto erano tre o quattro). Ma quando tutta la scacchiera è infetta il perimetro è evidentemente pari a quello della scacchiera, cioè 48 unità: meno di 12 caselle possono avere un perimetro totale di al più 44 unità, e quindi non potranno mai infettare tutta la scacchiera.

Un'ultima parola

In questo caso abbiamo all'opera un monovariante: concetto più raro dell'invariante ma che ha comunque la sua utilità. Marco Moriconi della Universidade Federal Fluminense ha osato dire che l'idea di considerare il perimetro "arriva naturamente studiando le transizioni di fase in modelli bidimensionali, come quello di Ising"; io non ci credo affatto.