Goligoni

Immaginiamo di avere il goligono con i lati disposti secondo i punti cardinali: quelli di lunghezza dispari in direzione nord-sud ("verticali") e quelli di lunghezza pari in direzione est-ovest ("orizzontali"). Indichiamo i lati verso nord ed est con un numero positivo, e quelli verso sud e ovest con un numero negativo. Guardando separatamente i lati verticali e quelli orizzontali, avremo due somme algebriche:
±1 ±3 ±5 …
±2 ±4 ±6 …

Per avere un poligono, ciascuna somma deve essere pari a zero e le due somme devono avere lo stesso numero di elementi. Ma ogni somma si divide in due parti, i numeri positivi e quelli negativi. Nel caso della prima somma i valori devono essere pari, e ciò capita ogni 2k valori (arrivando a 3, 7, 11...); per la seconda i valori devono essere multipli di 4, perché le due metà devono essere entrambe pari, e qusto capita per i valori di ordine 4k-1 e 4k. L'unica possibilità è quindi che i valori siano multipli di 4k. Prendendo le due somme si arriva appunto a un muliplo di 8.

Un'ultima parola

Il goligono di 8 lati tassella il piano: si possono disegnare piastrelle di questa forma e ricorpire un pavimento.