E se c'è sciopero?

È chiaro che il custode numero 1 non ha scioperato, visto che la lampadina corrispondente è accesa e lui è l'unico ad azionare quell'interruttore. Lo stesso vale per i numeri primi da 2 in poi, visto che nessun altro avrebbe potuto spegnere le lampadine corrispondenti; e a questo punto tutti i prodotti di numeri primi diversi non hanno scioperato (lo si dimostra per induzione sul numero di fattori del prodotto)
In compenso tutti i numeri quadrati perfetti hanno scioperato (abbiamo visto che i fattori distinti di k² sono 3, ma visto che 1 e k hanno lavorato il terzo deve avere scioperato), e di nuovo si dimostra per induzione che anche i loro multipli hanno scioperato. Quindi la risposta è «hanno scioperato i custodi il cui numero, fattorizzato, contiene un quadrato diverso da 1»: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28. Undici su 30, poco più del 35%: non so se lo sciopero sia stato un successo.

Un'ultima parola

Per chi non fosse convinto delle dimostrazioni per induzione, eccole qua. Abbiamo visto che se un numero p è primo il custode corrispondente non può avere sciooperato, perché gli unici due custodi che toccano quell'interruttore sono 1 e p, 1 ha acceso la lampadina e p deve spegnerla. Se abbiamo ora un prodotto di primi p₁p₂...p_n, il numero di custodi che può azionare l'interruttore è 2ⁿ. Di questi, sappiamo che tutti meno l'ultimo non scioperano per ipotesi induttiva, quindi perché la lampadina sia spenta nemmeno l'ultimo può farlo.

Per quanto riguarda i numeri nella cui fattorizzazione appare un quadrato