Pari o dispari?

Anche se il numero totale di oggetti è pari, i sottoinsiemi con un numero pari di oggetti sono tanti quelli quelli con un numero dispari di oggetti. Nel nostro caso specifico, un sistema semplice per dimostrarlo consiste nel lasciare da parte uno degli oggetti – chiamiamolo x per semplicità. Possiamo allora dividere i sottoinsiemi degli altri 41 oggetti in due gruppi che hanno la stessa cardinalità (cioè lo stesso numero di elementi): SP e SD, che sono rispettivamente quelli con un numero pari di elementi e quelli con un numero dispari di elementi. A questo punto è praticamente fatta: consideriamo anche i gruppi SPx e SDx, costituiti dagli elementi di SP e SD a cui è stato aggiunto x; quindi se avevamo per esempio un sottoinsieme {a, b, c} ora abbiamo {a, b, c, x}. È chiaro che i sottoinsiemi in SPx hanno un numero dispari di elementi mentre quelli in SDx ne hanno un numero pari: ma visto che tanto hanno tutti la stessa cardinalità, basta considerare da un lato SP∪SDx e dall'altro SD∪SPx.

Un'ultima parola

Come ho già scritto, la combinatoria è l'arte di saper contare gli oggetti nel modo migliore. Non garantisco che il metodo che ho descritto qui sopra sia il migliore, però perlomeno funziona, ed è più facile a farsi che a spiegarsi...