Parquet

È possibile ricoprire il parquet secondo le regole date se e solo se n è un multiplo di 4. È facile farlo quando n è multiplo di 4; basta usare tante copie della struttura indicata a sinistra nella figura. È anche facile vedere che è impossibile farlo quando n è dispari; il numero di quadretti è dispari, e quindi non è nemmeno possibile ricoprire il pavimento senza tagliare un listello.

E il caso di n pari ma non multiplo di 4? Beh, come capita spesso la soluzione si ottiene colorando opportunamente il parquet, come si può vedere nella figura qui sotto dove un quadrato 6x6 è diviso in strisce orizzontale. Evidentemente, ogni listello verticale coprirà una casella chiara e una scura, mentre un listello orizzontale coprirà o due caselle chiare o due caselle scure. Se il lato del quadrato è 2(2n+1), il numero totale di caselle è 4(4n²+4n+1), metà delle quali sarà ricoperto da listelli orizzontali e metà da listelli verticali. Ma allora il numero di caselle scure ricoperte dai listelli verticali (metà del totale, abbiamo visto, quindi un quarto del numero totale di caselle) è dispari, mentre le caselle scure ricoperte dai listelli orizzontali sono un numero pari: assurdo, perché la somma è dispari mentre c'è un numero pari di caselle scure.

Un'ultima parola

Come già detto, la colorazione è un'arma potente per riuscire a risolvere questo tipo di problemi: più inusuale vedere una "biparità" all'opera, coi multipli di 4 e non semplicemente coi numeri pari.