Cassaforte

Estraiamo le tre chiavi e numeriamole per comodità 1,2,3. Indipendentemente dallo stato in cui si trova la serratura, possiamo essere certi di trovarci in uno di questi tre casi:
 
(a) tutte e tre le chiavi erano nella serratura corretta
(b) nessuna chiave era nella serratura corretta
(c) una sola chiave era nella serratura corretta.
 
Lascio all'astuto lettore domandarsi perché non è possibile che esattamente due chiavi fossero nella serratura corretta :-)

Inseriamo ora le chiavi in questo ordine:

[P1] 1,2,3
[P2] 2,3,1
[P3] 3,1,2
[P4] 1,2,3

Se eravamo nel caso (a), o la cassaforte si apre al passo P1, oppure ai passi P2 e P3 tutte le serrature saranno chiuse, e quindi al passo P4 la cassaforte si apre. Se eravamo nel caso (b), al passo P1 tutte le serrature saranno chiuse, e quindi o al passo P2 o al P3 la cassaforte si apre. (Anche qui lascio all'astuto lettore dimostrare che le uniche due combinazioni possibili sono quelle suindicate).

Se la cassaforte non si è ancora aperta, deduciamo che eravamo nel caso (c) e sappiamo che una sola scheda è nella posizione corretta. La serratura corrispondente è aperta: infatti al passo P3 c'era una scheda sbagliata e la serratura si è chiusa, ma al passo P4 l'abbiamo aperta. Le altre due serrature sono invece chiuse. Con il passo

[P5] 1,2,3

siamo pertanto certi che tutte e tre le serrature sono chiuse. Le tre possibilità rimaste per le schede sono 1,3,2; 3,2,1; 2,1,3. Provando le schede in quell'ordine,

[P6] 1,3,2
[P7] 3,2,1
[P8] 2,1,3

siamo sicuri di aprire la cassaforte al più con otto tentativi. Poteva andare peggio.

Un'ultima parola

Non so se questa sia la soluzione più veloce, nel senso che richiede il minor numero di mosse, anche se penso di sì: per il momento mi accontento. In compenso ho trovato una soluzione per il caso di N schede, e anche per la situazione in cui inserire una scheda sbagliata non modifica lo stato della serratura. Ma lo spazio di questa nota non è sufficiente per scriverla :-)