Quadrati e radici quadrate

La funzione f(n)=(n+√n) è crescente, e la differenza tra i valori corrispondenti a due interi successivi è sicuramente compresa tra 1 e 2. Preso un qualunque quadrato (k+1)², mostriamo come ci siano due valori consecutivi n e n+1 tali che rispettivamente f(n) < (k+1)² - 1/2 e f(n+1) > (k+1)² + 1/2, e quindi i valori arrotondati saranno rispettivamente (k+1)² - 1 e (k+1)² + 1. Più precisamente che possiamo prendere n=k²+k. La prima disuguaglianza infatti si può scrivere come k²+k + √(k²+k) < (k+1)² - 1/2 = k²+2k + 1/2, da cui √(k²+k) < k + 1/2; prendendo il quadrato, abbiamo k² + k < k² + k + 1/4, banalmente vero. Per la seconda disuguaglianza, abbiamo k²+k+1 + √(k²+k+1) > (k+1)² + 1/2 = k²+2k + 3/2, da cui √(k²+k+1 ) > k + 1/2; prendendo i quadrati anche in questo caso, otteniamo k² + k + 1 > k² + k + 1/4, di nuovo banalmente vero.

Un'ultima parola

Nel caso vi chiedeste come mi siano venute in mente queste disuguaglianze, la risposta è semplicissima: ho provato a calcolare i primi valori di round(n+√n), fino a n=15, e ho ricavato una legge empirica di quello che sembrava accadere. A questo punto, sapendo dove volevo arrivare, è stato relativamente facile fare i conti.