Fiboprodotti

I primi valori di S_n, per n che va da 0 a 6, sono 1, 3, 9, 24, 64, 168, 441. Quest'ultimo numero è 21² e quindi ci fa subito pensare ai quadrati dei numeri di Fibonacci. Guardando più attentamente possiamo congetturare che ci siano due formule per i valori: quando n è pari, la somma vale F_n², mentre se è dispari vale F_n²-1.
Quando si ha una congettura in funzione di n e la si vuole dimostrare, in genere il sistema più semplice è usare l'induzione. Visto che si hanno due formule diverse, si potrebbe pensare che occorra fare due procedure diverse; in realtà ne basta una sola!

Dimostriamo infatti che per un qualunque n, se S(n)=F_n² ± k allora S(n+2)=F_n+2² ± k. Come notate, non è un'ipotesi standard di induzione, perché si passa da n a n+2. La dimostrazione è un po' noiosa da fare usando le varie proprietà dei numeri di Fibonacci; il disegno sotto, dove il cerchietto nero sta a significare il "più o meno k", dovrebbe però dare la soluzione senza parole. A questo punto ci basta verificare i due casi n=0 e n=1, cosa che si fa in un attimo, e facendo un doppio salto induttivo arriviamo alla nostra soluzione richiesta.

Un'ultima parola

Lo so, in genere F₀ vale 0 e non 1; ma in questo modo la formula risolutiva era più facile da trovare.

L'induzione è uno dei trucchi più sporchi che un matematico ha a disposizione: non serve affatto a trovare la soluzione di un problema, e anzi suppone che la soluzione ci sia già stata data - per infusione, intervento divino, oppure colpo di fortuna. E a cosa serve, allora? Ma per dimostrare che la soluzione è effettivamente una soluzione, sciocchini che non siete altro!
L'altra cosa da dire sull'induzione è che è una scocciatura unica; in genere non ci si diverte affatto nel mettersi a fare i conti per n+1, sostituire il valore per n al momento giusto, e trovarsi l'uguaglianza bell'e scodellata... a meno di errori tra un passaggio e l'altro. In questo caso bisogna ammettere che almeno c'è qualcosa di diverso dal solito: da un lato la dimostrazione visivo-geometrica, e dall'altro soprattutto l'idea di un'induzione interallacciata. Spero che la cosa vi diverta.