1,00 = 1?

Termino la "trilogia delle uguaglianze", iniziata con la dimostrazione che 0,999999... è uguale a 1 e continuata con la dimostrazione che magari i due numeri non sono proprio uguali, con un terzo esempio. Chi ha trovato troppo difficili i primi due articoli stavolta può fare uno sforzo e andare avanti: garantisco che di conti e formule stavolta non ce ne sono.

Sono certo che per la maggior parte di voi chiedersi se 1,00 è uguale a 1 è quasi un'eresia. Già alle elementari ci è stato spiegato che gli zeri a destra dopo la virgola sono asolutamente inutili se non sono seguiti da un'altra cifra, e quindi si possono togliere senza problemi. Tranquilli: vi assicuro che un matematico vi dà perfettamente ragione, e non credo proprio esistano teorie che prevedano che 1,00 abbia un valore diverso da 1. In fin dei conti, qui non ci sono paradossi con l'infinito, e quindi le operazioni funzionano regolarmente come siamo abituati, senza nulla di preoccupante. Ma il mondo non è fatto solo da matematici!

Misure

Iniziamo con i fisici, gli acerrimi nemici dei matematici. Per loro dire 1 oppure 1,00 sono due cose ben diverse: il tutto ha origine dal fatto che loro non pensano ai numeri come entità pure, ma come il risultato di una misura. Quando un matematico parla di pi greco, per lui quello è un numero ben preciso: potrà magari approssimarlo se mai gli toccherà di dover ricavare un numero da un'espressione algebrica, ma il numero resta appunto un numero. Quando un fisico dice che la luce nel vuoto viaggia a 300000 Km/sec, quel dato non è un numero ma una misura, che è inevitabilmente un'approssimazione: il fisico ovviamente lo sa, e non si preoccupa più di tanto... a meno che sia uno che cerchi di rendere la misura ancora più precisa. A dire il vero con la luce c'è stato un trucco: attualmente per definizione la luce nel vuoto percorre esattamente 299 792 458 metri in un secondo (o se preferite un metro è definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 di secondo). Se però prendiamo ad esempio il peso di un protone in termini di masse atomiche, in genere esso viene considerato pari a 1; ma il valore più accurato a oggi è 1,007 276 466 88, ma non è che quello sia il valore esatto!

Il modo più completo per indicare quanto ci si possa fidare di una misura è infatti quello di aggiungere al valore della misura l'errore (statistico) che ci si aspetta aver fatto: si può ad esempio affermare che una costante di natura valga 2,573 più o meno 0,0022. Ma c'è un secondo modo, che consiste nell'indicare solo il numero di cifre di cui si è certi. Nel caso fittizio qui sopra, si scrive 2,57 e si suppone che il lettore sappia non solo che non è un valore perfetto ma approssimate, come 3,14 per pi greco; ma anche che si è certi di quelle tre cifre ma non delle successive. In questo caso, scrivere 1,00 è molto diverso che scrivere 1. Infatti nel primo caso possiamo immaginare il valore compreso tra 0,995 e 1,005, mentre nel secondo lo dobbiamo immaginare tra 0,5 e 1,5. È un po' come dire "proprio lì" invece che "da quelle parti": si indica sempre lo stesso punto, ma si intendono cose ben diverse.

Per chi non è ancora convinto della cosa - e sono sicuro che parecchi dei miei lettori sono tra questi - faccio ancora un esempio. Se mentre chiacchieriamo affermo che il giocatore di basket X è alto due metri, voi siete convinti che è alto esattamente come il giocatore Y, indicato nell'annuario come alto 2,00 metri? Probabilmente no, penserete solo che è più o meno della stessa altezza; ma se avessi detto che è "due metri e zero zero" allora sì che X e Y sono alti uguali.

Rappresentazioni

Ma c'è ancora un'altra scienza in cui l'eguaglianza può non valere, ed è l'informatica. In effetti, 1,00 è con ogni probabilità uguale a 1, ma ad esempio 0,100 non è esattamente 1/10; ma nemmeno 0,1 lo è. Il motivo qui è diverso, e dipende dalla rappresentazione dei numeri all'interno di un calcolatore. Lo spazio per conservare il valore di un numero è limitato: quattro, otto o al limite 16 byte, se non si usano codifiche speciali. Per i numeri interi non troppo grandi, tali codifiche vanno più che bene; ma per i numeri "reali" bisogna usare un'approssimazione. La fregatura è che i calcolatori operano in base 2, e quindi i numeri "tondi" per noi non lo sono affatto per un PC. Per esempio, 0,1 in base 2 si scrive 0,0(0011), dove la parte tra parentesi si ripete all'infinito; quindi il numero memorizzato sarà leggermente diverso.

Noi non ce ne accorgiamo, perché quello che viene mostrato a video è un numero arrotondato proprio per evitare di trovarci con una sfilza di cifre nella maggior parte dei casi inutili, ma è così... a meno che non si applichi la notazione a virgola fissa, che però usa degli interi e li divide per un'opportuna potenza di dieci quando li mostra. Un software che deve fare i conti in euro probabilmente usa una virgola fissa in seconda posizione, il che significa che i conti li fa in centesimi. Tanto i numeri grandi non lo spaventano mica!

Per finire...

La morale di tutto questo? La teoria è una bella cosa, ma la pratica non sempre è d'accordo con essa. Quando si parla di un numero, bisogna sempre capire a cosa si riferisce esattamente, prima di snocciolare le sue proprietà!