Come si dimostra che e è un numero irrazionale

Sicuramente sapete cosa sono i numeri irrazionali: sono quelli che non possono essere espressi come rapporto (in latino ratio) di due numeri interi. Probabilmente sapete anche che la radice quadrata di 2 è un numero irrazionale, e magari avete visto anche la dimostrazione relativa, che viene venduta come scoperta di Pitagora. E in effetti c’entra il teorema di Pitagora, applicato a un triangolo rettangolo e isoscele: se i cateti di questo triangolo sono lunghi 1, allora il quadrato dell’ipotenusa è 2, e pertanto l’ipotenusa stessa è √2. La dimostrazione procede per assurdo: se fosse esprimibile come un rapporto a/b, possiamo supporre che a e b non siano entrambi pari – altrimenti basterebbe dividerli entrambi per il loro massimo comun divisore e ottenere una coppia con quella proprietà. Ma per definizione (a/b)² = 2, cioè a² = 2b²; quindi a è pari e b dispari. Peccato che a² allora dovrebbe essere multiplo di 4, mentre 2b² non lo è.

Si è poi scoperto con Cantor che “quasi tutti” i numeri sono irrazionali, anzi trascendenti: non sono cioè radici di un polinomio a coefficienti interi. √2 non è trascendente, per esempio, perché è una radice di x²−2=0. Tra i numeri più famosi, ci sono π ed e, che in effetti sono entrambi trascendenti: ma c’è voluto un bel po’ di tempo per scoprirlo. Charles Hermite dimostrò la trascendenza di e nel 1873, e tra l’altro fu il primo caso di un numero trascendente che non era stato costruito apposta: detto in altri termini, i numeri trascendenti avevano senso e non erano solo dei giochetti a cui i matematici amavano indulgere. Si sapeva però che era un numero irrazionale: la dimostrazione di questo fatto da parte di quel grande giocoliere che era Eulero è abbastanza semplice da poter essere raccontata qui.

Sappiamo che e è uguale alla somma infinita 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …, e quindi è maggiore di 2,5 (prendete i primi tre termini della somma) e minore di 3 (la somma è minore di 1 + 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …). Quindi se è esprimibile come una frazione m/n sappiamo che n è maggiore o uguale a 3. Ammesso per assurdo che esista una simile frazione, scriviamo e = P+Q, dove

P = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … + 1/n!

Q = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + 1/(n+3)! + …

Se ora moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per n!, a sinistra abbiamo n!e = (n−1)!m che è un numero intero; a destra n!P + n!Q, e visto che il primo addendo è anch’esso intero pure il secondo lo deve essere. Ma n!Q vale

1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2) + 1/(n+1)(n+2)(n+3) + …

che è minore di

1/3 + 1/(3·3) + 1/(3·3·3) + … = 1/2, il che è impossibile. Pertanto e non può essere razionale.

Che dire della dimostrazione? Che sfrutta biecamente il fatto che lo sviluppo in serie infinita di e converge davvero in fretta. Eulero non si è mai preoccupato troppo di studiare bene i criteri di convergenza di una serie infinita, ma in questo caso – con tutti gli addendi positivi – non c’erano comunque problemi. Certo che non bisogna avere problemi con l’infinito…