Quando si parla di paradosso in matematica ci possono essere due casi distinti. Il primo tipo, come nel paradosso di Berry che ho esposto un paio di settimane fa, è un’affermazione logicamente inconsistente, che ci fa capire che c’è qualcosa che non va nelle nostre definizioni. Il secondo tipo di paradosso si dovrebbe etichettare più accuratamente come fallacia; si fa una specie di gioco di prestigio, nascondendo un errore matematico in quella che appare come una dimostrazione in piena regola ma che porta a un risultato assurdo. Eccovi un esempio del secondo tipo.
Supponiamo che la circonferenza grande abbia raggio 1: questo significa che la circonferenza misurerà 2π, o se preferite 6 virgola 28 e qualcosa. Se costruiamo due circonferenze più piccole dello stesso raggio sul diametro della circonferenza grande, il loro raggio sarà evidentemente 1/2; ciascuna circonferenza sarà pertanto lunga 2π·(1/2) cioè π, e la lunghezza totale delle circonferenze sarà 2π, esattamente come quella singola iniziale; anche il diametro totale sarà sempre 2. Come potete immaginare, le quattro circonferenzine al passo due avranno come lunghezza totale 2π, e via discorrendo: a ogni passo la lunghezza totale delle circonferenze sarà sempre 2π, e il diametro totale 2.
Ma andando all’infinito, cosa che non ho fatto nel disegno perché sennò sporcavo tutto, le circonferenzine saranno sempre più vicine al diametro fino a che si confonderanno con esso. Quindi la lunghezza totale sarà pari al diametro, cioè 2; o meglio, visto che abbiamo unificato i punti in alto e quelli in basso, bisognerebbe contare il diametro in entrambi i sensi, e quindi ottenere come limite della lunghezza complessiva delle circonferenzine 4. In ogni caso il diametro totale resta pari a 2; quindi nella prima ipotesi abbiamo che 2π = 2, e quindi π = 1, e nella seconda 2π = 4, da cui π = 2. Cosa c’è che non funziona?