«Il lettore non troverà figure in questo lavoro. I metodi che esporrò non richiedono costruzioni né geometriche né meccaniche, ma solamente operazioni algebriche, soggette a una procedura regolare e uniforme.»

«Alla folla è occorso solo un attimo per rimuovergli la testa [a Lavoisier]: un secolo non basterà per riprodurla.»

«Quando chiediamo un consiglio, stiamo di solito cercando un complice.»

«... Quella cosa a volte chiara e a volte vaga che è la matematica... »

«Il solo motivo di credere alla matematica è che la matematica funziona.»

«Molte arti, come pittura, scultura e musica, hanno un richiamo emotivo al grande pubblico. Questo capita perché tali arti possono essere sperimentate da uno o più dei nostri sensi. Questo non è vero per l'arte della matematica; quest'arte può essere apprezzata solo dai matematici, e diventare un matematico richiede un lungo periodo di addestramento intensivo. La comunità dei matematici è simile a un'immaginaria comunità di compositori musicali la cui unica soddisfazione è ottenuta dallo scambio tra loro degli spartiti che ognuno compone.»

[Alla richiesta di una testimonianza se Emmy Noether fosse una grande donna matematica:] «Posso testimoniare la sua grandezza come matematico: ma che sia una donna, non posso giurarlo.»

«C'è un certo non so che di sacerdotale nel mondo accademico, l'idea che uno studioso non deve essere distratto dai compiti mondani della vita di tutti i giorni. Un tempo lavoravo in lunghe sessioni. Ora posso pensare alla ricerca mentre preparo panini al burro di arachidi. Certo non si possono buttare giù idee mentre si legge Cappuccetto Rosso a un bimbo di due anni. D'altra parte, quando mio marito terminò gli studi universitari e iniziò il suo primo lavoro, il suo relatore gli disse "Magari ti chiedi come un professore possa fare ricerca mentre deve insegnare, ricevere studenti, far parte di comitati, giudicare articoli, scrivere lettere di raccomandazione, intervistare potenziali candidati. Beh, faccio delle lunghe docce".»

«Quello usa le statistiche come un ubriaco i lampioni - non per illuminazione ma per supporto.»

[su Fourier] «È stato senza dubbio almeno in parte per il suo disinteresse per il rigore se è stato in grado di fare dei passi concettuali che erano inerentemente impossibili per uomini dal genio più critico.»

«Un bravo calcolatore non ha bisogno di ausilii artificiali.»

«Quello che sappiamo non è molto. Quello che non sappiamo è immenso.»

«La Natura ride alle dificoltà di integrazione.»

«Si legga Eulero: è il nostro maestro in tutto.»

«Il vantaggio di un linguaggio ben costruito è tale che la sua notazione semplificata spesso diviene la sorgente di profonde teorie.»

[al commento di Napoleone "Lei ha scritto questo librone sulla fondazione del mondo senza menzionare una sola volta l'autore dell'universo"] «Maestà, non ho avuto bisogno di questa ipotesi.»

[quando Napoleone gli raccontò l'accaduto, Lagrange commentò: "Ah, ma è un'ottima ipotesi. Spiega tante cose!"]

[A proposito dei logaritmi di Nepero:] «...accorciando la fatica, raddoppiò la vita dell'astronomo.»

«È l'India che ci ha dato l'ingegnoso metodo di esprimere tutti i numeri per mezzo di dieci simboli, ciascuno dei quali ha un valore di posizione oltre che assoluto; un'idea profonda e importante che ci appare oggi così semplice che ignoriamo il suo vero merito. Ma proprio la sua semplicità e la grande facilità che ha prestato alle computazioni ha portato la nostra aritmetica in prima fila tra le invenzioni utili; e ne possiamo apprezzare ancor più la grandezza quando ricordiamo che è sfuggita a quei geni di Archimede e Apollonio, due dei più grandi uomini che ha prodoto l'antichità.»

«La teoria della probabilità non è in fondo che il buon senso ridotto a calcolo: essa fa apprezzare con precisione ciò che gli spiriti giusti sentono per una sorta di istinto, senza che essi possano, sovente, rendersene conto.»

«Le combinazioni regolari si presentano piu raramente solo perché sono meno numerose. Se noi ricerchiamo una causa dove percepiamo una simmetria non é perché consideriamo che un evento simmetrrico sia meno possibile degli altri, ma perché tale evento deve essere l'effetto di una causa regolare o del caso, e la prima di queste supposizioni è più probabile della seconda.»

«Aritmetica! Algebra! Geometria! Grandiosa trinità! Luminoso triangolo! Colui che non vi ha conosciute è un insensato! Meriterebbe la prova dei massimi supplizi; poiché c'è cieco disprezzo nella sua ignorante noncuranza; ma colui che vi conosce e vi apprezza non vuole più nulla dei beni della terra; si accontenta dei vostri magici piaceri; e, sorretto dalle vostre ali oscure, non desidera più altro che di innalzarsi, con volo leggero, costruendo una spirale ascendente, verso la volta sferica dei cieli.»

«Come può un antropologo moderno lanciarsi su una generalizzazione con una qualche speranza di arrivare a una conclusione soddisfacente? Pensando alle idee organizzative che sono presenti in ogni società come una struttura matematica.»

«Come si può accorciare la materia? Quest'aspra lotta con le tabelline, che per molta gente non è ancora terminata con una vittoria, come può essere ridotta? Radici quadrate, indurite come un ceppo in mezzo a un pascolo: nulla meno di anni di sforzi possono estrarle. O passiamo dall'aritmetica all'algebra; non ci si può nascondere dalla vista delle equazioni quadratiche o sgaiattolare attraverso il teorema binomiale. Tutt'altro: i tuoi piedi vengono avviluppati, il tuo passo è impedito, affondi e caschi da qualche parte vicino al teorema binomiale, con l'analisi in vista all'orizzonte. Muore così per ciascuno di noi, mentre ancora combattiamo fieramente, il nostro addestramento matematico... tranne per un gruppo di persone chiamate «matematici» - così dalla nascita, come gli imbroglioni.»

«Nei tempi antichi non c'erano le statistiche, perciò era necessario ripiegare sulle menzogne.»

«Secondo me un matematico, in quanto matematico, non si deve preoccupare con la fantasia - un'opinione che è stata anche espressa da parecchi filosofi.»

«Nella vita reale, vi assicuro, non c'è nulla che si chiami algebra.»

«Le attività umane che si ostinano a mantenere vivo un sogno, nonostante la schiacciante evidenza contraria, si contano sulle dita di una mano: religione, fisica teorica, essere fan della squadra di calcio belga, e ... matematica.»

«I suoi teoremi erano sempre corretti: le sue dimostrazioni, mai.» [detto da Gian-Carlo Rota]

«Se è solo girare la manovella è algebra, ma se c'è dentro un'idea allora è topologia.»

[su di lui, attribuito a Montesquieu o alla duchessa di Orléans:] «È raro trovare uomini di cultura che siano puliti, non puzzino e abbiano il senso dell'umorismo.»

«Nulla è più importante che vedere le sorgenti dell'invenzione, che a mio parere sono più interessanti delle invenzioni stesse.»

«Il numero immaginario è un magnifico espediente dello spirito divino, quasi un anfibio tra l'essere e il non essere.»

«Chi capisce Archimede e Apollonio ammirerà meno i risultati ottenuti dagli uomini prominenti dei tempi successivi.»

«Nei simboli si osserva un vantaggio nella scoperta che è maggiore quando esprimono concisamente l'esatta natura di una cosa e nel contempo la raffigurano; allora infatti la fatica del pensiero è fantasticamente ridotta.»

«L'arte di scoprire le cause dei fenomeni, o le vere ipotesi, è come l'arte della decrittazione, in cui un'ingegnosa congettura accorcia grandemente la strada.»

«Anche se tutta la nostra vita non fosse altro che un sogno e il mondo fisico un mero fantasma, io dovrei chiamare questo sogno o fantasma vero a sufficienza, se usando bene la ragione non siamo mai tratti da esso in inganno.»

«L'anima è lo specchio di un universo indistruttibile.»

«La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare.»

«La matematica onora lo spirito umano.»

«Sono così a favore dell'infinito attuale che invece che affermare che la Natura lo aborre, come si dice di solito, io sostengo che la Natura lo utilizza spesso ovunque, per mostrare con più efficacia le perfezioni del suo Autore.»

«Ma volevo avere ancora qualcosa, qualcosa di mio. E così fu la volta della matematica pura. Non avevo mai avuto doti matematiche; era solo l'ostinazione a spingermi. [...] E lo sa perché la matematica faceva quell'effetto? Lo capii quando fui là. Perché essa è al disopra di tutto. Le opere di Abel e di Kronecker sono attuali oggi, come quattrocento anni fa, e così sarà sempre. Nasceranno nuovi sistemi, ma quelli antichi continueranno a guidarci, senza invecchiare mai.»

«Inferocita, la Bestia contorceva i suoi integrali doppi e tripli per rintuzzare i polinomi con cui il re cercava di colpirla, scivolava in una serie infinita di termini indeterminati, poi si risollevava elevandosi a potenza, ma il re la attaccava con una serie di derivazioni parziali e totali da azzerare tutti i suoi coefficienti (si veda il Lemma di Riemann), e nella confusione che ne seguì i costruttori persero completamente di vista il re e la bestia.»

«La matematica può esplorare la quarta dimensione e il mondo di ciò che è possibile, ma lo zar può essere rovesciato solo nella terza dimensione.»

«Chiunque disprezzi l'alta saggezza della matematica si nutre di delusione e non fermerà mai le scienze sofiste, il cui unico prodotto è un eterno trambusto.»

«La meccanica è il paradiso delle scienze matematiche, perché per mezzo suo si giunge ai frutti della matematica.»

«Chi ama la pratica senza la teoria è come il marinaio che si imbarca senza bussola e sestante, e non sa mai dove viene portato.»

«Nessuna ricerca matematica può essere definita vera scienza se non può essere dimostrata matematicamente.»

«La disuguaglianza è la causa di tutti i movimenti locali.»

«Nessuna umana investigazione si può demandare vera scienza se essa non passa per le matematiche dimostrazioni.»

«Nessuna certezza è dove non si può applicare una delle leggi matematiche ove che non sono unite con esse matematicamente.»

«In ogni caso, è stabilito che la duplicazione delle sfere non ha nulla di soprannaturale e divino, ma è "soltanto" un teorema di matematica: la sua presunta "magia" si basa su un assioma (controverso ma generalmente condiviso) e sulle finezze dell'assegnazione delle misure. Che poi il lettore resti soddisfatto e convinto di quest'esito, non sappiamo prevederlo. Del resto abbiamo già sottolineato come anche nei migliori classici del giallo, quelli che tengono inchiodati alla poltrona per ore, capita che la spiegazione si riveli inferiore alle premesse e alle promesse; figurarsi nei manuali di matematica...»

«Dobbiamo quindi ammettere che, come nella bistrattata giustizia umana, anche nella compassata e rigorosa matematica vero e dimostrabile non vanno di pari passo. Semmai si può rilevare a vantaggio della matematica che in giustizia capita talora che neppure "dimostrabile implichi vero", che talora le risultanze o le omissioni dei procedimenti penali finiscano col provare tutt'altro che la verità, e che indizi imperfetti o amicizie potenti finscano per scagionare i colpevoli ed eliminare gli innocenti; in matematica, invece, quel che si dimostra in genere è vero. [...] Ma si tratta di ben scarsa consolazione.»

«Del resto, anche la saggezza popolare ci conferma che "le potenze di due sono la rovina del giocatore".»

«Le statistiche sono come i bikini. Ciò che rivelano è suggestivo, ma ciò che nascondono è più importante.»

«Lasciando quelle del Corpo, passerò alle Ricreazioni che adornano la Mente; delle quali quelle della Matematica non sono seconde a nessuna.»

«Sospetto sempre di tutte le leggi matematiche che troviamo in Natura, nonostante la loro bellezza. Non mi danno alcuna gioia. Sono dei semplici ausilii. Da vicino è tutto falso.»

«Il grande trucco di considerare piccole deviazioni dalla realtà come la realtà stessa - cosa su cui si basa tutto il calcolo integrale - è anche la base delle nostre abili speculazioni, dove il tutto collasserebbe spesso se considerassimo le deviazioni con rigore filosofico.»

«In analisi matematica chiamiamo x la parte indeterminata della linea a; il resto non lo chiamiamo y, come nella vita di tutti i giorni, ma a-x. Quindi il linguaggio matematico ha dei grandi vantaggi sul linguaggio comune.»

«Ho spesso notato che quando le persone arrivano a comprendere una proposizione matematica in un modo diverso da quello della dimostrazione ordinaria, dicono subito «Ah, vedo. Ecco come dev'essere». È un segno che stanno spiegandosi le cose nel loro proprio sistema.»

«Chi non si è stupito nell'imparare che la funzione y = e^x, come una fenice che risorge dalle proprie ceneri, è la derivata di sé stessa?»

[Sulla curva gaussiana, fece notare a Poincaré:] «Gli sperimentalisti pensano sia un teorema matematico, mentre i matematici lo credono un fatto sperimentale.»

«È vero che un tempo avrei dovuto essere sorpreso a scoprire che il professor Hardy si è unito all'Oxford Group. Ma non si può dire che la possibilità contraria fosse 1:10. La matematica è una professione pericolosa: una percentuale apprezzabile di noi impazzisce, e pertanto questo particolare evento sarebbe piuttosto probabile.»

«Una buona battuta matematica è migliore, e matematica migliore, di una dozzina di mediocri articoli matematici.»

«Mi ricordo di avere detto una volta che quando avevo tenuto lo stesso seminario per un certo numero di volte non potevo fare a meno di sentire che ormai avrebbero dovuto conoscerlo.»

«Tra l'altro, io credo fermamente che la ricerca dovrebbe essere inframmezzata da una certa quantità di insegnamento, non fosse altro che come cambiamento dall'agonia della ricerca. Il guaio però, non ho problemi a dirlo, è che in pratica o non hai da insegnare, o ne hai fin troppo.»

«È possibile che in certi casi un matematico sia "troppo forte". Passa con la forza bruta, mentre un altro potrebbe scegliere un approccio differente, e magari più fruttuoso; proprio come uno scalatore può scegliere di passare a forza per un crepaccio, invece di trovare una strada nascosta e piu delicata.»

«Continuo a incontrare persone dubbiose, generalmente senza evidenti ragione, sulle loro potenziali capacità [matematiche]. Il primo test è se si ha ottenuto qualcosa dalla geometria. Avere odiato o non essere riusciti a ottenere nulla con altri argomenti [matematici] non significa nulla; occorrono molti scavi e rovistamenti prima di riuscire a partire, e un cattivo insegnante puo rendere le cose incomprensibili anche a un matematico nato.»

«L'infinitamente competente può essere non creativo.»

«Nel presentare un argomento matematico, la cosa davvero bella è dare al lettore acculturato la possibilità di intuire al volo quello che si sta facendo al momento, prendendo per buoni i dettagli; i suoi bocconi successivi dovrebbero essere quelli inghiottibili a vista; nel caso di problemi, o se per una volta volesse controllare in dettaglio, dovrebbe avere un problema picolo e ben circoscritto (come verificare un'identità: due banalità omesse possono assommare a un impasse). Lo scrivente non pratico, anche dopo averne preso coscienza, non gli dà questa possibilità: prima che il lettore giunga al punto, deve districarsi in un labirinto di simboli, in cui non si può evitare nemmeno il piu minuscolo suffisso.»

«Un linguista sarebbe scioccato nel vedere che se un insieme non è chiuso non significa che sia aperto, oppure che "E è denso in E" non è la stessa cosa che "E è denso in sé stesso".»

«Un professore precisino soleva dire: «... il polinomio di quarto grado ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, dove e non è necessiaramente la base dei logaritmi naturali.»»

«Lessi nelle bozze del libro di Hardy su Ramanujan: «Come disse qualcuno, ciascun intero positivo era uno dei suoi amici personali». La mia reazione fu «Mi chiedo chi l'abbia detto: avrei voluto dirlo io». Nelle bozze successive trovai quello che poi fu pubblicato: «Fu Littlewood a dire...»»

«Alla fine però dobbiamo arrivare alla relazione della teoria ideale con il mondo reale, o la probabilità "reale". Se è coerente, un matematico se ne lava le mani delle applicazioni. A chi le vuole, risponderebbe che il sistema ideale gira in parallelo alla teoria usuale: «Se questo è ciò che vuoi, provalo. Non sono affari miei giustificare l'applicazione del sistema; quello lo possono fare solo i filosofi, e io sono un matematico». Ma così non sta meramente filosofando: sta commettendo la fallacia caratteristica. L'esperienza induttiva che il sistema funziona non è evidenza.»

«La teoria dei numeri è particolarmente soggetta all'accusa che alcuni dei suoi problemi sono il tipo sbagliato di domande da porsi. Personalmente non penso che il pericolo sia serio; o un ragionevole periodo di concentrazione fa giungere a nuove idee o metodi di ovvio interesse, oppure si lascia semplicemente il problema da parte. I "numeri perfetti" non hanno certamente fatto nulla di buono, ma non hanno nemmeno fatto particolarmente male.»

«Devo anche annotare una mia sensazione personale: non esiste una sola ragione concepibile per ritenere che [l'Ipotesi di Riemann] debba essere vera. D'altra parte, la vita sarebbe più confortevole se esistessero delle ragioni fondate per ritenere che l'ipotesi sia falsa.»

«Gli assiomi possono essere paragonati alle regole di un gioco, il cui valore non può essere messo in discussione. Se si vogliono cambiare queste regole, bisogna giocare necessariamente a un altro gioco.»

«Non esiste branca della matematica, per quanto astratta, che non possa essere un giorno applicata ai fenomeni del mondo reale.»

«La prima cosa da comprendere è che la matematica è un'arte. La differenza tra la matematica e le altre arti, come musica e pittura, è che la nostra cultura non la riconosce tale.»

«Non c'è nulla di così sognante e poetico, nulla di così radicale, sovversivo e psichedelico, come la matematica.»

«Se c'è un principio estetico unificante nella matematica, è questo: semplice è bello. I matematici amano pensare alle cose più semplici possibili, e le cose più semplici possibili sono immaginarie.»

«La matematica non è seguire le direzioni che vengono date; è creare delle nuove direzioni.»

«...le dimostrazioni matematiche, come i diamanti, sono rigide e trasparenti, e non possono essere attaccate da nulla se non dal ragionamento preciso.»

«Tutti i discorsi dei matematici intorno alla quadratura del cerchio, alle sezioni coniche e a qualunque altra parte delle matematiche non riguardano l'esistenza di alcuna di tali figure; ma le loro dimostrazioni, che dipendono dalle loro idee, saranno le stesse che vi sia o che non vi sia alcun quadrato o circolo esistente al mondo.»

«La matematica per il popolo è fatta di enunciati che sono verità assolute, qualunque cosa questo voglia, non contingenti, analitiche, per chi sa di filosofia, necessarie, certe oltre ogni dubbio.»

«A cosa servono le dimostrazioni? Che domanda, servono perché se non ci fossero le dimostrazioni non ci sarebbero i teoremi. I matematici si limiterebbero a proclamare delle affermazioni: «2+2=4», «il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti», «il continuo ha cardinalità ℵ₁», «le funzioni continue sono derivabili», «xⁿ+ⁿ=zⁿ non ha soluzioni per n > 2», facendo a chi grida più forte per venderle, genuine o bacate, come al mercato.»

«La matematica è decollata nel Seicento proprio in polemica contro la logica, giudicata sterile e buona solo per le dispute scolastiche, a differenza del metodo inventivo, dell'ars inveniendi rappresentata dal pensiero matematico.»

«La capacità di fare matematica ha sostemuto e alimentato la fiducia nella ragione umana, e ha allo stesso tempo radicato una visione sovrumana della matematica.»

«Un calcolo, sia fatto a mano che per mezzo di una macchina, è un vero e proprio evento naturale, cosa che non si può dire della dimostrazione, qualunque cosa essa sia. La dimostrazione che sostituisce un calcolo predice il risultato di un esperimento. Nell'anticipare e predire eventi naturali risultati di esperimenti la dimostrazione svolge un ruolo comune a tutte le leggi scientifiche.»

«Mettere un segno (un dummy come Quine chiama le variabili) al posto dei numeri e (quindi inevitabilmente) dimostrare una formula è il vero rito di passaggio che introduce alla matematica teorica.»

«Le dimostrazioni semplificano la vita.»

«La matematica infatti non ha un campo di indagine fissato, ma cresce espandendosi, colonizzando, arando nuovi territori, o generrando nuove specie. La crescita richiede nuovi concetti; questi vengono elaborati e raffinati nel corso della costruzione della teoria matematica, attraverso le dimostrazioni.»

«... Invece l'incompletezza (di un sistema logico) è inaspettata, o meglio irriconoscibile, è come lo Spirito che soffia quando vuole e passa accanto ma non lo si percepisce.»

«Quello che emerge dalla crisi delle scienze della fine del secolo scorso [il XIX] è il ruolo sempre più pesante delle costruzioni teoriche (o mentali, o linguistiche); nella matematica ad esempio viene esaltata la potenza e la libertà della mente, a cui si ricorre come fonte esclusiva della validità matematica.»

«Il discorso intorno alle cose si svolge in termini aritmo-geometrici, che non possono essere scritti, né detti a parole, ma solo rappresentati, o disegnati. Ma questo significa che, se la matematica non è riducibile alla retorica del dialogo, essa è tuttavia una forma di espressione, un linguaggio (più ricco di quello che Platone poteva immaginare): significa che le figure matematiche non sono macchie di colore, e i calcoli numerici non sono solo operazioni materiali.»

«Spesso [...] balza agli occhi il salto di qualità che si ha con l'adozione di un modello matematico.»

«Ma per i filosofi (in senso lato) la matematica è sempre soltanto una tecnica.»

«Le parti della matematica che sono rifiutate e giudicate prive di senso dai costruttivisti sono argomenti che riguardano il continuo o questioni ancora più astratte, che raramente s'incontrano nella matematica della scuola: i docenti di fatto insegnano, se insegnano, matematica costruttiva. D'altra parte, la trattazione costruttiva è più sottile, una sfida al pensiero e allo sfruttamento ecologico delle sue risorse, il rifiuto di sparare col cannone quando basta la fionda.»

«Possiamo affermare in maniera del tutto appropriata che la Macchina Analitica del signor Babbage tesse motivi algebrici, proprio come il telaio Jacquard tesse fiori e foglie.»

«La medicina rende la gente malata, la matematica le rende tristi e la teologia le rende peccatrici.»