{"id":37009,"date":"2026-05-06T04:51:52","date_gmt":"2026-05-06T02:51:52","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=37009"},"modified":"2026-05-05T22:54:25","modified_gmt":"2026-05-05T20:54:25","slug":"trigonometria-senza-trigonometria","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2026\/05\/06\/trigonometria-senza-trigonometria\/","title":{"rendered":"Trigonometria senza trigonometria"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:15815,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/www.johndcook.com\\\/blog\\\/2026\\\/04\\\/23\\\/solve-a-right-triangle&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/www.johndcook.com\\\/blog\\\/2026\\\/04\\\/23\\\/solve-a-right-triangle\\\/&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:15816,&quot;href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/sections.maa.org\\\/michigan\\\/newsletters\\\/Fall97Newsletter\\\/frame.html&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2026\/05\/triangolo-rettangolo.png?resize=462%2C408&#038;ssl=1\" alt=\"Un triangolo rettangolo\" width=\"462\" height=\"408\" class=\"aligncenter size-full wp-image-37010\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2026\/05\/triangolo-rettangolo.png?w=462&amp;ssl=1 462w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2026\/05\/triangolo-rettangolo.png?resize=300%2C265&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 462px) 100vw, 462px\" \/> John D. Cook <a href=\"https:\/\/www.johndcook.com\/blog\/2026\/04\/23\/solve-a-right-triangle\/\">riprende in un suo post<\/a> una curiosa approssimazione trovata dal matematico statunitense <a href=\"http:\/\/sections.maa.org\/michigan\/newsletters\/Fall97Newsletter\/frame.html\">J. S. Frame<\/a> nel 1943. Consideriamo un triangolo rettangolo $ABC$ come in figura, dove $a$ \u00e8 il cateto pi\u00f9 corto e $c$ l&#8217;ipotenusa. Allora un&#8217;approssimazione per l&#8217;angolo $\\alpha$ opposto al cateto $a$ \u00e8 data da<br \/>\n$$\\alpha \u2248 a \\, 172\u00b0 \/ (b + 2c)$$<br \/>\n(s\u00ec, 172 gradi&#8230;) Nel triangolo 3-4-5 mostrato in figura, abbiamo $\\alpha = 3 \u00d7 172\u00b0 \/ (4 + 2\u00d75)$ $ = 258\u00b0\/7 \\approx 36.8571\u00b0$, mentre il valore reale approssimato a quattro cifre decimali \u00e8 $36.8699\u00b0$; per angoli pi\u00f9 piccoli l&#8217;approssimazione \u00e8 ancora migliore. <\/p>\n<p>Come ha fatto Frame a trovare questa approssimazione? \u00c8 partito dallo sviluppo in serie $2\\, \\rm{csc}(x) + \\rm{cot}(x)$  $= 3\/x + x^3\/60 + O(x^4)$, dove gli angoli sono misurati in radianti; se l&#8217;angolo \u00e8 piccolo possiamo anche trascurare l&#8217;addendo $ x^3\/60 $ e rimanere con  $2\\, \\rm{csc}(x) + \\rm{cot}(x) \\approx 3\/x$. Da qui, sapendo che $\\rm{csc}(x) = c\/a$ e $ \\rm{cot}(x) = b\/a $, otteniamo che $x \\approx 3a\/(b + 2c)$, sempre in radianti. Per arrivare ai gradi dobbiamo moltiplicare per $180\u00b0\/\\pi$; prendiamo infine il fattore 3 e notiamo come  $540\u00b0\/\\pi \\approx 172\u00b0$.<\/p>\n<p>S\u00ec, ma come si \u00e8 inventato la formula iniziale? A quanto pare \u00e8 partito dalla constatazione che per angoli (misurati in radianti) piccoli $ 3x \u2248 2\\, sin(x) + tan(x) $; poi ha pensato che un&#8217;approssimazione migliore della media aritmetica sarebbe stata la media armonica&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Una formula approssimata per trovare un angolo acuto di un triangolo rettangolo.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-37009","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-9CV","jetpack-related-posts":[{"id":6641,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/12\/16\/terne_pitagoric\/","url_meta":{"origin":37009,"position":0},"title":"Terne 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