{"id":34334,"date":"2025-11-12T04:51:59","date_gmt":"2025-11-12T03:51:59","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=34334"},"modified":"2025-11-10T15:53:09","modified_gmt":"2025-11-10T14:53:09","slug":"un-paio-di-dimostrazioni-non-standard","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/11\/12\/un-paio-di-dimostrazioni-non-standard\/","title":{"rendered":"Un paio di dimostrazioni non standard"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:251,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/x.com\\\/abakcus\\\/status\\\/1986990245082972389&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:252,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/x.com\\\/pickover\\\/status\\\/1986211348280177057&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p>Quella delle dimostrazioni matematiche \u00e8 spesso un&#8217;arte: non tanto nel senso usuale del termine, quanto perch\u00e9 ci possono essere metodi completamente diversi per arrivare a una dimostrazione, e spesso quello che si sceglie dipende dalle inclinazioni della persona pi\u00f9 che da un oggettivo vantaggio. Anzi, a volte il vantaggio non c&#8217;\u00e8 proprio: la dimostrazione fornita \u00e8 un semplice esercizio di stile. Vediamo due di queste dimostrazioni. <\/p>\n<p>La prima \u00e8 di un teorema del tutto banale: <\/p>\n<blockquote><p>Se $n$ \u00e8 un numero intero e $n^2$ \u00e8 pari, allora $n$ \u00e8 pari.<\/p><\/blockquote>\n<p>Come la dimostriamo, normalmente? Per assurdo. Supponiamo che $n$ non sia pari, e quindi sia dispari: allora $n^2$ \u00e8 anch&#8217;esso dispari, il che \u00e8 contro l&#8217;ipotesi iniziale. Dunque deve essere pari. Ma immaginiamo che la nostra religione ci vieti di fare dimostrazioni per assurdo, perch\u00e9 rovinano l&#8217;equilibrio dell&#8217;universo. Come possiamo fare? Come <a href=\"https:\/\/x.com\/abakcus\/status\/1986990245082972389\">spiegato da Ali Kaya<\/a>, prendiamo un $n$ per cui sappiamo che $n^2$ \u00e8 pari, e quindi pu\u00f2 essere scritto come $2k$ con $k$ anch&#8217;esso intero. Pertanto $n^2 &#8211; 2k = 0$, e quindi $n = n + (n^2 &#8211; 2k) = n(n+1) &#8211; 2nk$. Ma dati due numeri consecutivi ($n$ e $n+1$) uno di essi \u00e8 pari, e quindi $n(n+1)$ \u00e8 pari, cos\u00ec come \u00e8 pari $2nk$. Pertanto, la somma dei due addendi, che ricordo essere $n$, \u00e8 pari. QED.<br \/>\nDevo aggiungere che i commenti a quel tweet sono generalmente negativi, e dicono che la dimostrazione \u00e8 solo un modo complicato per dire la stessa cosa che si farebbe con la dimostrazione per assurdo: ma io preferisco vederla come l&#8217;applicazione di un vincolo che costringe a fare deviazioni di ogni tipo, un po&#8217; come capita quando si riscrive un testo come lipogramma eliminando per esempio tutte le occorrenze della lettera e.<\/p>\n<p>La seconda dimostrazione \u00e8 pi\u00f9 complicata, sicuramente inutile, ma ha un suo certo fascino.<\/p>\n<blockquote><p>I numeri primi sono infiniti.<\/p><\/blockquote>\n<p>La dimostrazione era gi\u00e0 nota ad Euclide, e tra l&#8217;altro non \u00e8 per assurdo, anche se in genere la vediamo esposta in quel modo: Euclide in effetti afferma solo che data una qualunque moltitudine di numeri primi se ne pu\u00f2 sempre costruire un altro. La <a href=\"https:\/\/x.com\/pickover\/status\/1986211348280177057\">dimostrazione di Sam Northshield<\/a>, pubblicata sull&#8217; American Mathematical Monthly [Vol. 122, <a rel=\"tag\" class=\"hashtag u-tag u-category\" href=\"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/tag\/5\/\">#5<\/a> (May 2015), p. 466] \u00e8 invece per assurdo, e sta su una riga.<\/p>\n<p>$$0 < \\prod_p \\sin\\frac{\\pi}{p} = \\prod_p \\sin\\left(\\frac{\\pi(1+2\\prod_{p'}p')}{p}\\right) = 0$$\n\nVediamo pezzo per pezzo il significato di questa formula. La prima disuguaglianza \u00e8 semplice: abbiamo un prodotto finito (perch\u00e9 supponiamo che i numeri primi siano finiti) di termini tutti diversi da zero (perch\u00e9 sono il seno di valori strettamente maggiori di 0 e minori o uguali a 90 gradi). Sia ora $N$ il prodotto di tutti i (finiti per ipotesi d'assurdo) numeri primi, cio\u00e8 $\\prod_{p'}p'$ nella prima uguaglianza. Riscriviamo dunque quel pezzo della catena di uguaglianze come $\\prod_p \\sin\\left(\\frac{\\pi(1+2N)}{p}\\right)$ che \u00e8 un po' pi\u00f9 leggibile. Perch\u00e9 \u00e8 uguale a quello precedente? Semplice: per ogni $p$ si ha che $\\frac{1+2N}{p} = \\frac{1}{p} + 2\\frac{N}{p}$, e il secondo addendo \u00e8 un numero pari perch\u00e9 $N$ \u00e8 per definizione multiplo di $p$; pertanto quando moltiplichiamo per $\\pi$ questo fattore vale 0. Riprendiamo ora $\\prod_p \\sin\\left(\\frac{\\pi(1+2N)}{p}\\right)$. Abbiamo che $1+2N$ \u00e8 un numero dispari, quindi deve avere un fattore primo $q$. Tra tutti i primi $p$ di cui facciamo il prodotto c'\u00e8 anche $q$; quel fattore vale pertanto $\\sin\\pi$ = 0 e rende nullo tutto il prodotto. QED.\nA nessuno chiaramente verrebbe in mente di usare una dimostrazione del genere per far vedere che i numeri primi sono infiniti. Per\u00f2 credo che essa abbia una sua bellezza: usare una parte della matematica (apparentemente) del tutto scorrelata come la trigonometria fa capire come la matematica sia fondamentalmente un qualcosa di unitario. Qui insomma, pi\u00f9 di un vincolo, c'\u00e8 proprio l'idea di scegliere strade diverse per scoprire cose nuove. \n\nVoi che ne pensate?\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>A volte ci si ingegna a trovare dimostrazioni matematiche &#8220;inutili&#8221;, perch\u00e9 pi\u00f9 complicate, ma con un loro 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