{"id":33183,"date":"2025-07-30T04:51:35","date_gmt":"2025-07-30T02:51:35","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=33183"},"modified":"2025-07-24T13:01:36","modified_gmt":"2025-07-24T11:01:36","slug":"1-2-4-8-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/07\/30\/1-2-4-8-1\/","title":{"rendered":"1 + 2 + 4 + 8 + &#8230; = -1"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:491,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_...&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20260101055638\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_...&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 20:02:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 20:02:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p>Dopo la manipolazione delle serie infinite <a href=\"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/07\/23\/qual-e-la-probabilita-che-due-numeri-presi-a-caso-siano-primi-tra-loro\/\">della scorsa settimana<\/a>, eccovene un&#8217;altra che vi lascer\u00e0 sicuramente perplessi. Prendiamo la somma infinita 1 + 2 + 4 + 8 + &#8230;, dove ogni termine \u00e8 il doppio del precedente. Qual \u00e8 la sua somma? Non sembrano esserci dubbi; tutti i termini sono positivi, ciascuno \u00e8 maggiore del precedente, se ci fermiamo all&#8217;n-simo termine la somma parziale \u00e8 2<sup>n+1<\/sup>&minus;1&#8230; insomma la somma \u00e8 infinita. Anche se facciamo la <a href=\"http:\/\/Somma di Cesaro\">somma di Cesaro<\/a>, quella che ci permette di dire che la somma della serie non assolutamente convergente 1 &minus; 1 + 1 &minus; 1 + 1 &minus; &#8230; \u00e8 1\/2 (non ve ne ho mai parlato?) la somma della nostra serie originale \u00e8 infinita. Eppure&#8230; <\/p>\n<p>Eppure Eulero aveva fatto questo ragionamento. Immaginiamo che questa somma abbia un valore $S$. Avremmo allora per definizione $S = 1 + 2 + 4 + 8 + &#8230;$, e quindi $2S = 2 + 4 + 8 + 16 + &#8230;$. Se ora sommiamo 1 a entrambi i membri dell&#8217;equazione otteniamo $2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + &#8230; = S$. Spostando le $S$ a sinistra e i numeri a destra, ricaviamo per l&#8217;appunto $S = -1$. E in effetti Eulero (che sapeva benissimo che la serie andava all&#8217;infinito&#8230;) pensava che i numeri negativi fossero maggiori di tutti i numeri razionali.<\/p>\n<p>Il tutto vi sembra solo uno sporco trucco, come nella &#8220;dimostrazione&#8221; per cui 1 = 2 ottenuta dividendo a un certo punto entrambi i membri di un&#8217;equazione per zero? Non necessariamente, se passiamo dall&#8217;aritmetica a qualcosa di pi\u00f9 avanzato. Come potete per esempio leggere <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_...\">su Wikipedia<\/a>, consideriamo la serie di potenze $f(z) = 1 + 2z + 4z^2 + 8z^3 + 16z^4 + &#8230;$. (Uso la $z$ e non la $x$ perch\u00e9 lavorer\u00f2 nel campo dei numeri complessi); intorno al punto 0 il suo raggio di convergenza (cio\u00e8 il cerchio pi\u00f9 grande per cui per tutti tutti i punti al suo interno, esclusi al pi\u00f9 quelli sulla circonferenza, la serie converge) \u00e8 1\/2, perch\u00e9 per z=1\/2 la funzione \u00e8 1 + 1 + 1 + 1 + &#8230; che va all&#8217;infinito. Esiste per\u00f2 un teorema dell&#8217;analisi complessa che dice che se eliminiamo i punti in cui la funzione assume per l&#8217;appunto un valore infinito possiamo associare un unico valore finito per la funzione a tutti gli altri punti del piano complesso; questo valore coincide pertanto con quello della serie di partenza dove essa converge. La serie di potenze equivale alla funzione $f(z) = \\tfrac{1}{1-2z}$, e se ora prendiamo $z=1$ otteniamo per l&#8217;appunto &minus;1 come risultato. Per completezza, Eulero us\u00f2 un approccio simile, anche se chiaramente solo sui numeri reali, per arrivare alla sua formula; e lo stesso tipo di calcolo \u00e8 stato usato anche da Ramanujan, quando disse che $1 + 2 + 3 + 4 + &#8230; = \\zeta(1) = -\\tfrac{1}{12}$. La matematica \u00e8 pluralistica, anche se sono in molti a credere che non sia cos\u00ec e che ci sia un&#8217;unica possibile soluzione per qualunque problema: in realt\u00e0 quello che importa \u00e8 avere un ambiente coerente (che non potremo dai dimostrare essere tale, ma quella \u00e8 un&#8217;altra storia) e siamo a posto.<\/p>\n<p>Ultima curiosit\u00e0: la voce di Wikipedia dice anche che se vediamo la serie come composta di numeri 2-adici $(1_{2p}, 10_{2p}, 100_{2p}, 1000_{2p}, &#8230;.)$ allora la somma \u00e8 comunque $-1$, perch\u00e9 la somma \u00e8 $&#8230;1111111_{2p}$ e se sommiamo 1 tutti gli 1 si annullano e resta appunto zero; ma non ho ancora trovato il tempo per spiegare cosa sono i numeri p-adici, quindi avete il diritto di non capire cosa ho scritto :-) <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Assurdo? Non necessariamente. La matematica \u00e8 pluralista.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-33183","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-8Dd","jetpack-related-posts":[{"id":32770,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/06\/11\/pi-greco-nei-triangoli-di-tartaglia-e-no\/","url_meta":{"origin":33183,"position":0},"title":"Pi greco nei triangoli (di Tartaglia e no)","author":".mau.","date":"2025-06-11","format":false,"excerpt":"due serie infinite che hanno come somma pi greco e che non sono molto note.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"se si sommano gli inversi dei numeri cerchiati... (da cut-the-knot)","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/06\/PiInPascal.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":29041,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/06\/05\/la-serie-di-kempner\/","url_meta":{"origin":33183,"position":1},"title":"La serie di Kempner","author":".mau.","date":"2024-06-05","format":false,"excerpt":"La serie armonica diverge cos\u00ec lentamente che non le si pu\u00f2 togliere troppa roba","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"la serie armonica","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_-300x240.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":34584,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/12\/03\/come-dimostrare-che-e-e-irrazionale\/","url_meta":{"origin":33183,"position":2},"title":"Come dimostrare che e \u00e8 irrazionale","author":".mau.","date":"2025-12-03","format":false,"excerpt":"Una dimostrazione alla portata di uno studente liceale.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":34428,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/11\/19\/1-4-1-16-1-64-1-256-%e2%8b%af\/","url_meta":{"origin":33183,"position":3},"title":"1\/4 + 1\/16 + 1\/64 + 1\/256 + \u22ef","author":".mau.","date":"2025-11-19","format":false,"excerpt":"Una serie geometrica infinita che Archimede \u00e8 riuscito a sommare... con un disegno","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"la somma 1\/4 + 1\/16 + 1\/64 + 1\/256 + \u22ef mostrata graficamente","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/quadratiinfiniti-300x300.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":30274,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/01\/01\/buon-2025-matematico\/","url_meta":{"origin":33183,"position":4},"title":"Buon 2025 matematico!","author":".mau.","date":"2025-01-01","format":false,"excerpt":"Il 2025 \u00e8 un anno il cui valore ha molte propriet\u00e0 matematiche, come racconta Greg Ross: \u00c8 un quadrato (45\u00b2). \u00c8 il prodotto di due quadrati (9\u00b2 \u00d7 5\u00b2). \u00c8 la somma dei cubi dei primi nove numeri naturali (1\u00b3 + 2\u00b3 + 3\u00b3 + 4\u00b3 + 5\u00b3 + 6\u00b3\u2026","rel":"","context":"In &quot;giochi&quot;","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":7733,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2010\/03\/08\/linduzione_mate_1\/","url_meta":{"origin":33183,"position":5},"title":"L&#8217;induzione matematica [2\/2]","author":".mau.","date":"2010-03-08","format":false,"excerpt":"seconda parte delle spiegazioni sull'induzione matematica.","rel":"","context":"In &quot;matematica_light&quot;","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33183","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=33183"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33183\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":33188,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/33183\/revisions\/33188"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=33183"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=33183"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=33183"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}