{"id":31571,"date":"2025-02-26T04:51:32","date_gmt":"2025-02-26T03:51:32","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=31571"},"modified":"2025-02-25T20:06:31","modified_gmt":"2025-02-25T19:06:31","slug":"il-rapporto-superaureo-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/02\/26\/il-rapporto-superaureo-2\/","title":{"rendered":"Il rapporto superaureo &#8211; 2"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:791,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Numero_di_Pisot-Vijayaraghavan&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20251208173753\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Numero_di_Pisot-Vijayaraghavan&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 22:55:51&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-16 20:19:44&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-21 07:34:21&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-25 16:20:52&quot;,&quot;http_code&quot;:503},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-04 17:28:31&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-08 10:36:21&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-11 13:27:06&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-14 23:56:19&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-18 11:04:42&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-22 21:49:36&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-27 02:55:37&quot;,&quot;http_code&quot;:503},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-30 17:38:57&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-05 08:27:28&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-08 10:25:58&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-12 04:20:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-12 04:20:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:831,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/File:Supergolden_ratio.svg&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20250121033958\\\/https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/File:Supergolden_ratio.svg&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 23:36:38&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-01 20:50:48&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-10 11:35:27&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-05 02:59:32&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-09 17:05:25&quot;,&quot;http_code&quot;:429}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-09 17:05:25&quot;,&quot;http_code&quot;:429},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:832,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/File:Supergolden_spiral.svg&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20250405041507\\\/https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/File:Supergolden_spiral.svg&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 23:36:41&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-01 20:50:46&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-08 09:22:12&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 18:37:23&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 18:37:23&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p>La scorsa settimana avevo parlato <a href=\"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/02\/19\/il-rapporto-superaureo\/\">del rapporto superaureo<\/a>, dato dall&#8217;unica radice reale dell&#8217;equazione $x^3 = x^2 + 1$. Esso si indica con la lettera greca &psi; e vale circa 1,46557. Si ha inoltre l&#8217;uguaglianza $\\psi^{2} \\left( \\psi &#8211; 1 \\right) = 1$. Vediamo ora qualche altra propriet\u00e0 del rapporto superaureo.<\/p>\n<p>Innanzitutto possiamo vedere quali sono le altre due radici (complesse coniugate) dell&#8217;equazione che definisce &psi;. Dividendo il trinomio $x^{3} -x^{2} -1$ per $x &#8211; \\psi$, ricaviamo $x^{2} + (x \/\\psi^{2}) + (1 \/\\psi)$ da cui troviamo che le altre due radici sono  $x_{1,2} = \\left( -1 \\pm i \\sqrt{4 \\psi^2 + 3} \\right) \/2 \\psi^{2}$. Tali radici hanno l&#8217;interessante propriet\u00e0 che $x_1 +x_2 = 1 -\\psi$ e $x_1x_2 =1 \/\\psi$; pertanto sia la somma che il prodotto delle tre radici \u00e8 1, come del resto si poteva vedere dall&#8217;equazione di partenza (usando una generalizzazione del fatto che nelle equazioni di secondo grado della forma $x^2 + sx + p = 0$ la somma delle radici \u00e8 $-s$ e il loro prodotto $p$; in generale in un&#8217;equazione polinomiale monica di grado $n$ il termine noto \u00e8 il prodotto delle radici, mentre il coefficiente del termine di grado $n-1$ \u00e8 $(-1)^{n-1}$ volte la loro somma.)<\/p>\n<p>La propriet\u00e0 corrispondente a quella del numero aureo, cio\u00e8 $ \\phi^{n} =\\phi^{n-1} +\\phi^{n-2} $, per il numero superaureo diventa $ \\psi^{n} =\\psi^{n-1} +\\psi^{n-3} $, che possiamo far diventare con un po&#8217; di manipolazioni $\\psi^{n-2} +2\\psi^{n-4} +\\psi^{n-6}$. Pi\u00f9 interessante notare che &psi; \u00e8 un <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Numero_di_Pisot-Vijayaraghavan\">numero di Pisot<\/a> (il quarto pi\u00f9 piccolo in valore; Vijayaraghavan mi perdoni se non uso anche il suo nome), perch\u00e9 \u00e8 maggiore di 1 e le due altre radici dell&#8217;equazione che lo definisce hanno valore assoluto minore di 1. Questo significa che le sue potenze (di esponente sufficientemente alto) sono ottime approssimazioni di numeri interi. Perch\u00e9, vi chiederete? Sempre per la storia della somma delle radici: si pu\u00f2 dimostrare che la somma delle n-sime potenze delle radici \u00e8 un numero intero, e visto che il valore assoluto di tutte le altre radici \u00e8 minore di 1, al crescere della potenza contano sempre di meno. Uno degli esempi pi\u00f9 noti di numeri di Pisot \u00e8 tra l&#8217;altro il rapporto aureo, come vediamo facilmente dalla serie di Fibonacci o se preferite dalla formula di Binet. Qui bisogna aspettare un po&#8217; di pi\u00f9 per avere un quasi-intero: per esempio, $\\psi^{11} = 67.000222765&#8230;$. A proposito di somiglianze, ce n&#8217;\u00e8 una che manca. Mentre &phi; \u00e8 il numero &#8220;peggio approssimabile&#8221; con frazioni, perch\u00e9 il suo sviluppo in frazione continua \u00e8 [1;1,1,1,1,&#8230;] e come sapete pi\u00f9 piccoli sono i termini meno si riesce ad approssimare un numero troncando lo sviluppo, quello di &psi; \u00e8 [1;2,6,1,3,5,4,22,1,&#8230;] e quel 22 ci fa capire che fermandosi subito prima avremo una buona approssimazione: 1873\/1278, per la cronaca. <\/p>\n<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_ratio.svg_.png?resize=625%2C434&#038;ssl=1\" alt=\"un rettangolo superaureo\" width=\"625\" height=\"434\" class=\"aligncenter size-full wp-image-31577\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_ratio.svg_.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_ratio.svg_.png?resize=300%2C208&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_ratio.svg_.png?resize=624%2C433&amp;ssl=1 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 625px) 100vw, 625px\" \/><br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=625%2C431&#038;ssl=1\" alt=\"spirale superaurea\" width=\"625\" height=\"431\" class=\"aligncenter size-full wp-image-31580\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?w=640&amp;ssl=1 640w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=300%2C207&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=624%2C430&amp;ssl=1 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 625px) 100vw, 625px\" \/><\/p>\n<p>Esistono gli equivalenti del rettangolo e della spirale aurei? Certo, e con grande fantasia si chiamano rettangolo e spirale superaurei. Sulla spirale non c&#8217;\u00e8 molto da dire, se non \u00e8 che logaritmica, passa per i vertici dei rettangoli superaurei sempre pi\u00f9 piccoli che compongono quello di partenza e per\u00f2 spunta un po&#8217; fuori da essi. Per il rettangolo superaureo, invece, non solo abbiamo tanti rettangoli simili all&#8217;interno &#8211; e, come abbiamo visto la volta scorsa, rettangoli che non sono superaurei ma hanno la stessa area di quello opposto rispetto alla diagonale; ma possiamo anche fare una partizione del rettangolo in quattro triangoli rettangoli, dove il vertice interno di due di essi \u00e8 proprio il punto da cui si fa la divisione in sottorettangoli. Questa propriet\u00e0, come tante altre e il concetto stesso di rettangolo superaureo, era sfuggita ai greci perch\u00e9 non \u00e8 possibile disegnarlo con riga e compasso&#8230; in questo caso l&#8217;algebra ci avvantaggia molto.<\/p>\n<p>Se qualcuno infine si chiedesse se c&#8217;\u00e8 un equivalente della successione di Fibonacci che sfrutta il rapporto superaureo, la risposta \u00e8 positiva: ma ne parler\u00f2 la settimana prossima :-)<\/p>\n<p><small>Le immagini del <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Supergolden_ratio.svg\">rettangolo superaureo<\/a> e della <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Supergolden_spiral.svg\">spirale superaurea<\/a> sono di Zilverspreeuw, e si trovano su Wikimedia Commons<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Continuiamo a vedere le propriet\u00e0 del rapporto superaureo, e le somiglianze e differenze con il rapporto aureo.<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"no","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-31571","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-8dd","jetpack-related-posts":[{"id":31513,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/02\/19\/il-rapporto-superaureo\/","url_meta":{"origin":31571,"position":0},"title":"Il rapporto superaureo","author":".mau.","date":"2025-02-19","format":false,"excerpt":"Per chi trova svalutato il rapporto aureo...","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"rettangoli superaurei","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":31636,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/03\/05\/il-rapporto-superaureo-3\/","url_meta":{"origin":31571,"position":1},"title":"Il rapporto superaureo &#8211; 3","author":".mau.","date":"2025-03-05","format":false,"excerpt":"Ultima parte della trattazione sul numero superaureo, con un (immancabile?) frattale.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"frattale di Rauzy","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/03\/Supergolden_Rauzy_sqr.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":31897,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/03\/26\/il-rapporto-plastico\/","url_meta":{"origin":31571,"position":2},"title":"Il rapporto plastico","author":".mau.","date":"2025-03-26","format":false,"excerpt":"Un altro numero che si trova spesso nelle successioni ricorsive","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"spirali plastiche","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/03\/plastic-spirals-1.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":5359,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2007\/10\/04\/giustizia_trion\/","url_meta":{"origin":31571,"position":3},"title":"Giustizia (?) trionfer\u00e0 (??)","author":".mau.","date":"2007-10-04","format":false,"excerpt":"Per fortuna qualcuno prende decisioni. Ci mette solo due anni, ma non si pu\u00f2 pretendere tutto.","rel":"","context":"In &quot;pipponi-2007&quot;","block_context":{"text":"pipponi-2007","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/pipponi\/pipponi-2007\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":30250,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/12\/25\/il-rapporto-argenteo\/","url_meta":{"origin":31571,"position":4},"title":"Il rapporto argenteo","author":".mau.","date":"2024-12-25","format":false,"excerpt":"Vale meno del rapporto aureo, per\u00f2...","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"il rapporto argenteo","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/12\/silverratio.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":34123,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/11\/09\/quizzino-della-domenica-catena-di-equazioni\/","url_meta":{"origin":31571,"position":5},"title":"Quizzino della domenica: Catena di equazioni","author":".mau.","date":"2025-11-09","format":false,"excerpt":"773 - algebra Data la catena di equazioni 3 = 2\/x1 = x1 + 2\/x2 = x2 + 2\/x3 = x3 + 2\/x4 = \u2026, quanto vale il termine generico xn? (trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https:\/\/xmau.com\/quizzini\/p773.html; la risposta verr\u00e0 postata l\u00ec il prossimo mercoled\u00ec. Problema 7\u2026","rel":"","context":"In &quot;giochi&quot;","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"la catena di equazioni","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/10\/q773a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31571","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=31571"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31571\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":31637,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31571\/revisions\/31637"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=31571"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=31571"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=31571"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}