{"id":29485,"date":"2024-08-14T04:51:56","date_gmt":"2024-08-14T02:51:56","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29485"},"modified":"2024-08-12T17:17:38","modified_gmt":"2024-08-12T15:17:38","slug":"e-allora-cose-una-dimostrazione-elegante","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/08\/14\/e-allora-cose-una-dimostrazione-elegante\/","title":{"rendered":"E allora cos&#8217;\u00e8 una dimostrazione elegante?"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:1136,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Teorema_di_Desargues&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20260209102313\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Teorema_di_Desargues&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 03:35:45&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-16 12:04:35&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-20 06:02:26&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-23 22:56:03&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-27 09:11:15&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-02 20:45:22&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-06 15:09:12&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-13 17:25:10&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-17 21:45:49&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-21 14:31:41&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-25 06:54:40&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-28 22:40:35&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-01 17:56:05&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-05 12:10:17&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-09 05:31:53&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-12 23:05:18&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-19 05:32:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-19 05:32:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p>La scorsa settimana <a href=\"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/08\/07\/che-cosa-non-e-una-dimostrazione-elegante\/\">ho detto<\/a> quali dimostrazioni sono considerate in genere dai matematici &#8220;non eleganti&#8221;, aggiungendo che la comunit\u00e0 matematica \u00e8 abbastanza d&#8217;accordo. Quando per\u00f2 bisogna definire cosa rende elegante una dimostrazione, le cose si fanno pi\u00f9 difficili. Certo, Paul Erd\u0151s affermava che Dio (anzi, il Supremo Fascista) aveva un libro con tutte le dimostrazioni eleganti, e che a volte un matematico riusciva a darci un&#8217;occhiata; ma questo non significa molto. Alla fine ho deciso di provare a spiegare quali tipi di dimostrazione sono eleganti <b>per me<\/b>: almeno potrete commentare sui miei pessimi gusti.<\/p>\n<p>(a) Una dimostrazione elegante \u00e8 spesso minimale, nel senso che non c&#8217;\u00e8 bisogno di avere una serie di lemmi oppure usare teoremi molto complessi per arrivare alla soluzione. Ecco un esempio di dimostrazione minimale ma non certo elegante: <\/p>\n<blockquote><p><em>Dimostrare che $\\sqrt[3]{2}$ \u00e8 irrazionale.<\/em><br \/>\nDimostrazione: Supponiamo per assurdo che $\\sqrt[3]{2} = p\/q$ con $p,q$ interi positivi. Elevando al cubo e moltiplicando per $q^3$ otteniamo $q^3 + q^3 = p^3$, che \u00e8 falso per l&#8217;Ultimo Teorema di Fermat.<\/p><\/blockquote>\n<p>(la dimostrazione standard \u00e8 uguale a quella che mostra che $\\sqrt{2}$ \u00e8 irrazionale; dal mio punto di vista \u00e8 elegante)<\/p>\n<p>(b) Una dimostrazione che cambia le carte in tavola \u00e8 elegante. Prendiamo per esempio il <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_di_Desargues\">Teorema di Desargues<\/a>, che afferma che se in un piano due triangoli sono in prospettiva, cio\u00e8 le rette che uniscono le coppie di vertici corrispondenti si incontrano in un punto, allora i prolungamenti dei lati corrispondenti si incontrano in tre punti che sono allineati. Il metodo pi\u00f9 semplice di dimostrarlo \u00e8 passare alla terza dimensione; per due triangoli nello spazio la propriet\u00e0 \u00e8 facile da dimostrare, e quindi basta aggiungere un triangolo ausiliario fuori dal piano e applicare due volte il teorema nello spazio.<\/p>\n<p>(c) Una dimostrazione che usa un campo della matematica diverso da quello in cui il problema \u00e8 posto per semplificare il risultato \u00e8 elegante. Prendiamo per esempio la formula del quadrato del binomio: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Possiamo fare una &#8220;dimostrazione senza parole&#8221; (altra caratteristica di una dimostrazione elegante) in questo modo: <\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?resize=300%2C289&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"289\" class=\"aligncenter size-medium wp-image-29492\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?resize=300%2C289&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?resize=768%2C741&amp;ssl=1 768w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?resize=624%2C602&amp;ssl=1 624w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/quadrato.png?w=989&amp;ssl=1 989w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/p>\n<p>(d) Una dimostrazione che usa tecniche standard in modo non standard \u00e8 elegante. Un esempio \u00e8 questa dimostrazione dovuta a Cauchy: <\/p>\n<blockquote><p>Dati $n$ numeri reali positivi, la loro media geometrica $\\sqrt[n]{a_1 a_2 \\cdots a_n}$ \u00e8 minore o uguale alla loro media aritmetica $\\frac{a_1+a_2+\\cdots+a_n}{n}$.<br \/>\nDimostrazione: per induzione. Innanzitutto eleviamo alla potenza <i>n<\/i>-sima i due valori, ottenendo $\\prod_{k=1}^{n}a_k$ e $\\left(\\sum_{k=1}^{n}\\frac{a_k}{n}\\right)^n$.  Per $n = 2$ abbiamo che $a_1 a_2 \\leq (a_1 + a_2)\/2$ \u00e8 equivalente a $(a_1 &#8211; a_2)^2 \\geq 0$, banalmente vero. Ora, invece che dimostrare che se la propriet\u00e0 vale per $n$ allora vale per $n+1$, dimostriamo (1) che se vale per $n$ allora vale per $2n$, e (2) che se vale per $n$ allora vale per $n-1$.<br \/>\nPer (1), $\\prod_{k=1}^{2n}a_k = \\left(\\prod_{k=1}^{2}a_k\\right)\\left(\\prod_{k=n+1}^{2n}a_k\\right) \\leq $ (per ipotesi induttiva) $\\left(\\sum_{k=1}^{2}a_k\\right)\\left(\\prod_{k=n+1}^{2n}a_k\\right) \\leq \\left(\\sum_{k=1}^{n}\\frac{a_k}{n}\\right)^n \\left(\\sum_{k=n+1}^{2n}\\frac{a_k}{n}\\right)^n \\leq $ (per il caso <i>n<\/i>=2 ) $ \\left(\\frac{\\sum_{k=1}^{2n}\\frac{a_k}{n}}{2}\\right)^{2n} $ = $\\left(\\frac{\\sum_{k=1}^{2n}{a_k}}{2n}\\right)^{2n} $.<br \/>\nPer (2), se $A = \\sum_{k=1}{n-1}\\frac{a_k}{n-1}$ (cio\u00e8 la media aritmetica dei primi $n-1$ numeri), abbiamo $\\left(\\prod_{k=1}{n-1}a_k\\right)A \\leq $ (per ipotesi induttiva) $ \\left( \\frac{\\sum_{k=1}^{n-1}a_k + A}{n}\\right)^n = \\left(\\frac{(n-1)A+A}{n}\\right)^n = A^n$, da cui $ \\prod_{k=1}^{n-1}a_k \\leq A^{n-1}$, che \u00e8 la nostra tesi.\n<\/p><\/blockquote>\n<p>Dite quello che volete, ma l&#8217;induzione all&#8217;indietro \u00e8 un bel gambetto!<\/p>\n<p>In generale concordo insomma con quanto scritto da Giovanni nei commenti al post precedente: credo che perch\u00e9 una dimostrazione si possa considerare elegante la semplicit\u00e0 gioca un ruolo minore rispetto alla creativit\u00e0, o se preferite alla sorpresa di vedere arrivare la soluzione in una maniera inaspettata. Controprova: una dimostrazione che segua pedissequamente la strada pi\u00f9 diretta, come ne si trova quando si sta studiando, non \u00e8 sicuramente elegante. Voi che ne pensate?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>questo \u00e8 pi\u00f9 difficile da definire, almeno per me<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-29485","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-7Fz","jetpack-related-posts":[{"id":29434,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/08\/07\/che-cosa-non-e-una-dimostrazione-elegante\/","url_meta":{"origin":29485,"position":0},"title":"Che cosa NON \u00c8 una dimostrazione elegante","author":".mau.","date":"2024-08-07","format":false,"excerpt":"Cominciamo dal fondo, insomma","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"\"proof\"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/08\/%E2%80%94Pngtree%E2%80%94proof-text-effect-editable_6100719-300x300.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":7959,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2010\/07\/10\/proofs_from_the\/","url_meta":{"origin":29485,"position":1},"title":"_Proofs from THE BOOK_ (libro)","author":".mau.","date":"2010-07-10","format":false,"excerpt":"Non sempre facile, ma alcune dimostrazioni sono favolose","rel":"","context":"In &quot;recensioni&quot;","block_context":{"text":"recensioni","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/recensioni\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":5370,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2007\/10\/09\/quanti_angeli_d\/","url_meta":{"origin":29485,"position":2},"title":"Quanti angeli danzano sulla punta di uno spillo?","author":".mau.","date":"2007-10-09","format":false,"excerpt":"Un teorema matematico dimostrato in una maniera cos\u00ec indiretta che ci si chiede se in effetti c'\u00e8 una dimostrazione.","rel":"","context":"In &quot;curiosit\u00e0-2007&quot;","block_context":{"text":"curiosit\u00e0-2007","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/curiosita\/curiosita-2007\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":7511,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2009\/11\/11\/dimostrazioni_m\/","url_meta":{"origin":29485,"position":3},"title":"Dimostrazioni matematiche al calcolatore","author":".mau.","date":"2009-11-11","format":false,"excerpt":"Un po' di considerazioni - soprattutto filosofiche - al riguardo.","rel":"","context":"In &quot;matematica_light&quot;","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":22208,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2021\/05\/17\/dimostrazioni-pubblicitarie\/","url_meta":{"origin":29485,"position":4},"title":"Dimostrazioni pubblicitarie","author":".mau.","date":"2021-05-17","format":false,"excerpt":"Domenica 9 maggio il quotidiano Libero ha ospitato a pagina 12 una pubblicit\u00e0 piuttosto strana: la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat. 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