{"id":29041,"date":"2024-06-05T20:51:38","date_gmt":"2024-06-05T18:51:38","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29041"},"modified":"2024-06-04T20:36:35","modified_gmt":"2024-06-04T18:36:35","slug":"la-serie-di-kempner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/06\/05\/la-serie-di-kempner\/","title":{"rendered":"La serie di Kempner"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:223,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Costante_di_Eulero-Mascheroni&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20251225063146\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Costante_di_Eulero-Mascheroni&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-11 17:23:41&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-15 15:03:28&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-20 17:14:54&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-24 23:41:03&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-02 08:38:49&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-05 10:29:25&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-11 00:18:31&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-15 21:24:06&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-20 01:32:12&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-24 17:19:22&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-28 01:33:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-01 20:57:06&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-05 05:29:05&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-09 10:04:00&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-09 10:04:00&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:1259,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/math.stackexchange.com\\\/questions\\\/2440482\\\/prove-that-there-are-infinitely-many-primes-with-666-in-their-decimal-represen&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20221027094149\\\/https:\\\/\\\/math.stackexchange.com\\\/questions\\\/2440482\\\/prove-that-there-are-infinitely-many-primes-with-666-in-their-decimal-represen&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 05:01:37&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-15 15:03:28&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-27 06:16:23&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-05 10:29:24&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-11 00:18:31&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-16 10:22:22&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-27 17:39:55&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 06:57:24&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:26&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:26&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:1260,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Serie_di_Kempner&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20251210001758\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Serie_di_Kempner&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 05:01:39&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-15 15:03:30&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-27 06:16:25&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-05 10:29:25&quot;,&quot;http_code&quot;:429},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-11 00:18:33&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-16 10:22:21&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-27 17:39:56&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 06:57:20&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:26&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:26&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:1261,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/Image:HarmonicNumbers.svg&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20060913000000\\\/http:\\\/\\\/commons.wikimedia.org:80\\\/wiki\\\/Image:HarmonicNumbers.svg&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 05:01:43&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-02 20:15:59&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-11 00:18:34&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-16 10:22:27&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-28 01:34:00&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 06:57:22&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:35&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-07 17:33:35&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?resize=300%2C240&#038;ssl=1\" alt=\"la serie armonica\" width=\"300\" height=\"240\" class=\"alignleft size-medium wp-image-29042\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?resize=300%2C240&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?resize=768%2C614&amp;ssl=1 768w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?resize=624%2C499&amp;ssl=1 624w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_.png?w=960&amp;ssl=1 960w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a> Immagino conosciate tutti la serie armonica, cio\u00e8 la somma degli inversi dei numeri naturali: $ 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\cdots $. Immagino anche sappiate che la serie diverge, come gi\u00e0 sapeva Oresme nel medioevo: basta raggruppare $ \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} $, $\\frac{1}{5} + \\frac{1}{6} + \\frac{1}{7} + \\frac{1}{8}$,<br \/>\n$\\frac{1}{9} + \\frac{1}{10} + \\cdots + \\frac{1}{16}$ e cos\u00ec via, e notare che la somma di ogni raggruppamento \u00e8 maggiore di 1\/2. Per i curiosi, come si pu\u00f2 intuire dalla figura qui a fianco, il valore parziale della serie armonica da 1 a $n$ si pu\u00f2 approssimare con $\\textrm{ln}\\; n$, cio\u00e8 con il logaritmo naturale. (E addirittura l&#8217;errore tende alla <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Costante_di_Eulero-Mascheroni\">costante di Eulero-Mascheroni<\/a> $\\gamma$).<\/p>\n<p>Chiamiamo ora diabolico un numero che contiene al suo interno la successione 666, e sommiamo gli inversi di tutti i numeri che non sono diabolici. Bene: <a href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/2440482\/prove-that-there-are-infinitely-many-primes-with-666-in-their-decimal-represen\">questa somma invece converge<\/a>. Quello che forse non \u00e8 noto a tutti \u00e8 infatti che se si eliminano dalla somma tutti i numeri che contengono una certa cifra allora il risultato \u00e8 finito. La cosa fu scoperta da A. J. Kempner nel 1914, e le serie cos\u00ec costruite si chiamano <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Serie_di_Kempner\">serie di Kempner<\/a>, appunto. La dimostrazione che quelle successioni sono finite ricorda un po&#8217; quella di Oresme che abbiamo visto sopra. Togliamo per esempio tutti i numeri che contengono il 9. Dato un numero naturale $n$, i numeri di $n$ cifre che non contengono il 9 sono $8 \u22c5 9^{n\u22121}$, poich\u00e9 ci sono 8 scelte possibili (da 1 a 8) per la prima cifra, e 9 scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n\u22121$. Ma ciascuno di questi numeri senza 9 \u00e8 maggiore o uguale di $10^{n\u22121}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci \u00e8 minore di $8(9\/10)^{n\u22121}$. Facendo la somma di tutti i contributi dati dai numeri di 1, 2, 3, &#8230; cifre si ottiene che la somma \u00e8 minore di 80. (Il valore effettivo \u00e8 circa 22,92067: diciamo che in questo caso la stima era molto grossolana.) Qualcuno potr\u00e0 lamentarsi perch\u00e9 la dimostrazione parla di numeri di una cifra che vengano tolti, e non di 666: ma il ragionamento qui sopra si pu\u00f2 fare con una qualunque base e una qualunque cifra in quella base tolta. Se lavoriamo in base 1000 e togliamo la &#8220;cifra&#8221; 666 otteniamo una serie che ha pi\u00f9 termini di quella che cerchiamo (per esempio conterr\u00e0 426660, visto che il numero si divide come 426-660) ma che comunque converge.<\/p>\n<p>Ah: pu\u00f2 sembrare incredibile, ma la somma degli inversi dei numeri primi invece diverge. Cresce in modo davvero lento: l&#8217;ordine di grandezza della somma dei primi $n$ primi \u00e8 $O(\\textrm{ln}\\; \\textrm{ln}\\;n)$, ma comunque diverge.<\/p>\n<p><small>(immagine di Baszoetekouw, da <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/Image:HarmonicNumbers.svg\">Wikimedia Commons<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La serie armonica diverge cos\u00ec lentamente che non le si pu\u00f2 togliere troppa roba<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-29041","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-7yp","jetpack-related-posts":[{"id":29870,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/10\/18\/partizioni-egizie-continua\/","url_meta":{"origin":29041,"position":0},"title":"Partizioni egizie &#8211; continua","author":".mau.","date":"2024-10-18","format":false,"excerpt":"Come ha fatto Graham a dimostrare che i numeri da 78 in poi sono strettamente egizi?","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"l'inizio della tabella di Graham","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":33183,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/07\/30\/1-2-4-8-1\/","url_meta":{"origin":29041,"position":1},"title":"1 + 2 + 4 + 8 + &#8230; = -1","author":".mau.","date":"2025-07-30","format":false,"excerpt":"Assurdo? Non necessariamente. La matematica \u00e8 pluralista.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":36069,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2026\/02\/25\/addizione-pitagorica\/","url_meta":{"origin":29041,"position":2},"title":"Addizione pitagorica","author":".mau.","date":"2026-02-25","format":false,"excerpt":"L'abbiamo usata tutti non so quante volte...","rel":"","context":"In &quot;mate-light 2026&quot;","block_context":{"text":"mate-light 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":28725,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/04\/10\/come-calcolare-una-singola-cifra-decimale-di-pi-greco\/","url_meta":{"origin":29041,"position":3},"title":"Come calcolare una singola cifra decimale di pi greco","author":".mau.","date":"2024-04-10","format":false,"excerpt":"S\u00ec, si pu\u00f2 fare anche quello","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/digits-of-pi.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":34864,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/12\/24\/un-triangolo-3-4-5-che-spunta-dal-nulla\/","url_meta":{"origin":29041,"position":4},"title":"Un triangolo 3-4-5 che spunta dal nulla","author":".mau.","date":"2025-12-24","format":false,"excerpt":"Una curiosit\u00e0 matematica in stile origami","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":33174,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/07\/23\/qual-e-la-probabilita-che-due-numeri-presi-a-caso-siano-primi-tra-loro\/","url_meta":{"origin":29041,"position":5},"title":"Qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che due numeri presi a caso siano primi tra loro?","author":".mau.","date":"2025-07-23","format":false,"excerpt":"La risposta \u00e8 inaspettata","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/29041","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=29041"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/29041\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":29045,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/29041\/revisions\/29045"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=29041"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=29041"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=29041"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}