{"id":28957,"date":"2024-05-22T10:24:57","date_gmt":"2024-05-22T08:24:57","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=28957"},"modified":"2024-05-22T10:24:57","modified_gmt":"2024-05-22T08:24:57","slug":"interi-di-gauss-e-fattorizzazione-unica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/05\/22\/interi-di-gauss-e-fattorizzazione-unica\/","title":{"rendered":"Interi di Gauss e fattorizzazione unica"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:1282,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/Image:PrimiGaussiani.jpg&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/commons.wikimedia.org\\\/wiki\\\/File:PrimiGaussiani.jpg&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?resize=625%2C607&#038;ssl=1\" alt=\"i primi gaussiani\" width=\"625\" height=\"607\" class=\"aligncenter size-large wp-image-28960\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?resize=1024%2C994&amp;ssl=1 1024w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?resize=300%2C291&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?resize=768%2C745&amp;ssl=1 768w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?resize=624%2C606&amp;ssl=1 624w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani.jpg?w=1183&amp;ssl=1 1183w\" sizes=\"auto, (max-width: 625px) 100vw, 625px\" \/><\/a>Una delle caratteristiche pi\u00f9 sorprendenti, almeno per me, dei numeri naturali \u00e8 il teorema di fattorizzazione unica. Nulla ci potrebbe fare immaginare a priori che un qualunque numero (e ce ne sono infiniti!) potr\u00e0 sempre essere scritto in unico modo come prodotto di elementi di un insieme anch\u2019esso infinito ma molto pi\u00f9 \u201cpiccolo\u201d: i numeri primi, i mattoni con cui si formano i numeri per mezzo della moltiplicazione. Certo, il fatto che possiamo moltiplicare il numero per 1 quante volte vogliamo ci rovina un po&#8217; la festa; anzi, ce la rovina cos\u00ec tanto che a un certo punto i matematici hanno deciso di eliminare 1 dall\u2019elenco dei numeri primi, mettendolo in una categoria a parte: quella delle unit\u00e0, o se preferite degli invertibili. In effetti 1 \u00e8 l\u2019unico numero naturale il cui inverso \u00e8 ancora un naturale: ed \u00e8 questo che gli permette di essere presente in un numero di copie a piacere: tutte le volte che ce n&#8217;\u00e8 uno basta moltiplicare anche per il suo inverso (che in questo caso \u00e8 sempre 1) ed \u00e8 come se non avessimo fatto nulla. In effetti se al posto dei numeri naturali usiamo gli interi succede che all&#8217;unit\u00e0 1 si aggiunge il suo opposto -1 ma la fattorizzazione unica resta, mentre se passiamo ai numeri razionali, dove tutti gli elementi tranne 0 sono invertibili, non ha senso parlare di fattorizzazione.<\/p>\n<p>Potrmmmo chiederci cosa succede se ampliamo la definizione di interi: sempre con una difficolt\u00e0 geneale a trovare un inverso, ma su insiemi pi\u00f9 ampi dei numeri interi. Il primo candidato che viene in mente \u00e8 il campo dei numeri complessi, dove potremmo prendere i numeri della forma $a + bi$ dove $a$ e $b$ sono numeri interi. Questi numeri si chiamano <i>interi di Gauss<\/i>, l&#8217;insieme relativo si indica come $\\mathbb{Z}[i]$ oppure $\\mathbb{Z}[-1]$, dove si prender il numero tra parentesi quadre, si fa la sua radice quadrata e lo si aggiunge alla struttura numerica di $\\mathbb{Z}$, e giocano appunto nel campo dei complessi lo stesso ruolo che gli interi giocano tra i reali. Cosa succede con questi numeri, almeno per quanto riguarda la fattorizzazione? Per esempio, 2 non \u00e8 un numero primo: infatti \u00e8 il prodotto $(1+i)(1-i)$. Anzi, \u00e8 addirittura un quadrato: infatti i numeri invertibili negli interi di Gauss sono $1, -1, i, -i$ e abbiamo $i(1-i)^2 = 2$. Perch\u00e9 ci sono solo quei quattro invertibili? Semplice. Sappiamo che l&#8217;inverso di un numero complesso $a + bi$ ha a denominatore la sua <i>norma<\/i> $|a^2 + b^2|$, e l&#8217;unica possibilit\u00e0 per cui la norma sia 1 \u00e8 che uno tra $a$ e $b$ valga 1 e l&#8217;altro valga 0. In compenso, 3 continua a non avere divisori, e quindi \u00e8 un numero <i>primo di Gauss<\/i> (d&#8217;accordo, la fantasia nei nomi \u00e8 poca). Ci sono poi numeri primi anche tra gli immaginari e i complessi: $3i$ \u00e8 primo, perch\u00e9 il prodotto di un invertibile per un numero primo, e $1-i$ \u00e8 anch&#8217;esso primo. Nella figura in cima alla pagina vedete una rappresentazione grafica dei primi di Gauss &#8220;piccoli&#8221;. <\/p>\n<p>In definitiva, un intero di Gauss $a + bi$ \u00e8 un primo di Gauss se:<\/p>\n<ul>\n<li> \u00e8 un numero reale o immaginario puro, e il suo valore assoluto \u00e8 un numero primo della forma $4k = 3$; <\/li>\n<li> \u00e8 $\\pm 1 \\pm i$;\n<\/li>\n<li> $a$ e $b$ sono entrambi non nulli e $a^2 + b^2$ \u00e8 un nuemro primo (e quindi della forma $4k + 3$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>In definitiva, pare che il concetto di numero primo sia comunque qualcosa di naturale anche se passiamo da una a due dimensioni numeriche. Sar\u00e0 proprio vero?<\/p>\n<p><small>Immagine di Dr Zibu, da <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/Image:PrimiGaussiani.jpg\">Wikimedia Commons<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Non vale solo per i numeri naturali<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-28957","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-7x3","jetpack-related-posts":[{"id":29146,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/06\/19\/quando-la-fattorizzazione-non-e-unica\/","url_meta":{"origin":28957,"position":0},"title":"Quando 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