{"id":28725,"date":"2024-04-10T04:51:30","date_gmt":"2024-04-10T02:51:30","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=28725"},"modified":"2024-04-09T19:33:25","modified_gmt":"2024-04-09T17:33:25","slug":"come-calcolare-una-singola-cifra-decimale-di-pi-greco","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/04\/10\/come-calcolare-una-singola-cifra-decimale-di-pi-greco\/","title":{"rendered":"Come calcolare una singola cifra decimale di pi greco"},"content":{"rendered":"<div class='__iawmlf-post-loop-links' style='display:none;' data-iawmlf-post-links='[{&quot;id&quot;:1335,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/amzn.to\\\/43Rpzc1&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/www.amazon.it\\\/Chiamatemi-greco-Biografia-numero-matematica\\\/dp\\\/8822069072?__mk_it_IT=%C3%85M%C3%85%C5%BD%C3%95%C3%91&amp;crid=QUZFXHOCJ938&amp;dib=eyJ2IjoiMSJ9.z1NzWpYdB6jgupsk3Kp46KtJAPcqTHC5D0XNYZxk04U.fB9cc3ISqLtFvF_Kt_Y8tJI08g2q9VSKmQLhhuoAfGU&amp;dib_tag=se&amp;keywords=chiamatemi+pi+greco&amp;qid=1712680049&amp;sprefix=chiamatemi+pi+greco,aps,103&amp;sr=8-1&amp;linkCode=sl1&amp;tag=notizioledima-21&amp;linkId=914db55f98b226e8179feb5834926a40&amp;language=it_IT&amp;ref_=as_li_ss_tl&quot;,&quot;checks&quot;:[],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:null,&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:1336,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/arxiv.org\\\/ftp\\\/arxiv\\\/papers\\\/2201\\\/2201.12601.pdf&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20230126093810\\\/https:\\\/\\\/arxiv.org\\\/ftp\\\/arxiv\\\/papers\\\/2201\\\/2201.12601.pdf&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 06:15:39&quot;,&quot;http_code&quot;:403},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-17 19:25:15&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-28 15:53:18&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-12 00:14:10&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-15 09:40:04&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-18 16:28:45&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-26 10:07:12&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-30 11:39:32&quot;,&quot;http_code&quot;:404},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 11:41:54&quot;,&quot;http_code&quot;:404}],&quot;broken&quot;:true,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 11:41:54&quot;,&quot;http_code&quot;:404},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;},{&quot;id&quot;:1337,&quot;href&quot;:&quot;https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Numeri_di_Bernoulli&quot;,&quot;archived_href&quot;:&quot;http:\\\/\\\/web-wp.archive.org\\\/web\\\/20251119183428\\\/https:\\\/\\\/it.wikipedia.org\\\/wiki\\\/Numeri_di_Bernoulli&quot;,&quot;redirect_href&quot;:&quot;&quot;,&quot;checks&quot;:[{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-12 06:15:41&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-17 19:25:17&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-02-28 15:53:20&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-12 00:14:12&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-15 09:41:01&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-18 16:28:47&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-26 10:10:57&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-03-30 11:39:33&quot;,&quot;http_code&quot;:200},{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 11:41:53&quot;,&quot;http_code&quot;:200}],&quot;broken&quot;:false,&quot;last_checked&quot;:{&quot;date&quot;:&quot;2026-04-03 11:41:53&quot;,&quot;http_code&quot;:200},&quot;process&quot;:&quot;done&quot;}]'><\/div>\n<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/digits-of-pi.png?resize=464%2C50&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"464\" height=\"50\" class=\"aligncenter size-full wp-image-28727\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/digits-of-pi.png?w=464&amp;ssl=1 464w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/digits-of-pi.png?resize=300%2C32&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 464px) 100vw, 464px\" \/><br \/>\nQuando ho scritto <a href=\"https:\/\/amzn.to\/43Rpzc1\"><i>Chiamatemi pi greco<\/i><\/a>, ho mostrato una formula che permetteva di calcolare l&#8217;<i>n<\/i>-sima cifra esadecimale della nostra costante preferita senza dovere calcolare quelle precedenti. Terminavo scrivendo<\/p>\n<blockquote><p>Chiss\u00e0, magari in futuro qualcuno trover\u00e0 una formula simile in base 10\u2026 La cosa non \u00e8 impossibile, e per qualche altra costante matematica una formula di quel tipo esiste davvero, ma almeno per il momento non pare che ci siano buone notizie su quel fronte. <\/p><\/blockquote>\n<p>Le bozze del libro mi sono arrivate il 28 gennaio 2022. Il giorno dopo Simon Plouffe, uno degli scopritori della formula che avevo citato, ha pubblicato <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/ftp\/arxiv\/papers\/2201\/2201.12601.pdf\">un preprint<\/a> dove ha mostrato una formula per trovare l&#8217;<i>n<\/i>-sima cifra decimale di &pi;. Come indovino ho ancora qualche margine di miglioramento&#8230;<\/p>\n<p>Potete vedere qui sotto (oltre che nella figura iniziale&#8230;) la formula in questione. Prima si definisce il numero <\/p>\n<p>$ \\pi_n = \\left( \\frac{2(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}B_{2n}(1-2^{-n})(1-3^{-n})(1-5^{-n})(1-7^{-n})} \\right)^{1\/(2n)} $<\/p>\n<p>e poi si calcola l&#8217;<i>n<\/i>-sima cifra decimale di pi greco come <\/p>\n<p>$ d_n = \\textrm{int} ( 10 \\textrm{ frac} (10^{n-1} \\pi_{n-1})) $<\/p>\n<p>dove int() e frac() calcolano rispettivamente la parte intera e frazionaria di un numero. <\/p>\n<p>So che ve lo state chiedendo: i B<sub>n<\/sub> sono i <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Numeri_di_Bernoulli\">numeri di Bernoulli<\/a>. Plouffe spiega che a partire dal decimo numero di Bernoulli l&#8217;approssimazione <\/p>\n<p>$ \\pi \\approx \\left( \\frac{2n!}{B_n2^n} \\right )^{1\/n} $<\/p>\n<p>per <i>n<\/i> pari \u00e8 molto precisa. (Se <i>n<\/i> \u00e8 dispari i numeri di Bernoulli tranne il primo valgono tutti zero, quindi non funzionano). Preso per esempio $ n = 1000 $, l&#8217;errore che si commette \u00e8 minore di $ 2^{-1000} $. I prodotti che vedete a denominatore arrivano infine dall&#8217;approssimazione della zeta di Riemann, scritta come produttoria infinita usando la formula di Eulero. \u00c8 noto (l&#8217;ha dimostrato Eulero) che $ \\zeta(2n) $ \u00e8 un multiplo razionale di $ \\pi^{2n} $; sostituendo il valore e prendendo i primi quattro valori della produttoria si arriva al risultato mostrato in cima.<\/p>\n<p>Tutto bello, in teoria: peccato che la formula richieda di computare i numeri di Bernoulli, e per farlo in genere si usano formule che partono da un&#8217;espressione con pi greco. Insomma questo risultato \u00e8 carino, ma assolutamente inutile in pratica!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>S\u00ec, si pu\u00f2 fare anche quello<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-28725","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hcSh-7tj","jetpack-related-posts":[{"id":32261,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/04\/23\/quasi-pi-greco\/","url_meta":{"origin":28725,"position":0},"title":"Quasi pi greco","author":".mau.","date":"2025-04-23","format":false,"excerpt":"Riuscite a scoprire come mai vale questa incredibile approssimazione?","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"pi greco \u00e8 circa il quadrato di 1\/10^5 volte la somma per n che va da meno infinito a infinito dell'esponenziale di meno n quadro diviso 10 alla decima","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/quasi-pi-1024x280.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":28684,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2024\/04\/03\/%cf%80%cf%80%cf%80%cf%80-e-un-numero-naturale\/","url_meta":{"origin":28725,"position":1},"title":"\u03c0^(\u03c0^(\u03c0^\u03c0)))  \u00e8 un numero naturale?","author":".mau.","date":"2024-04-03","format":false,"excerpt":"quasi certamente no, ma nessuno lo sa dimostrare, e probabilmente nessuno lo sapr\u00e0 per secoli","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2024&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/pi-tetrated.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/pi-tetrated.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/04\/pi-tetrated.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":32770,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2025\/06\/11\/pi-greco-nei-triangoli-di-tartaglia-e-no\/","url_meta":{"origin":28725,"position":2},"title":"Pi greco nei triangoli (di Tartaglia e no)","author":".mau.","date":"2025-06-11","format":false,"excerpt":"due serie infinite che hanno come somma pi greco e che non sono molto note.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"se si sommano gli inversi dei numeri cerchiati... 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