757 – algebretta
Se avete sottomano i regoli che si usano all’inizio delle elementari per imparare a usare i numeri, potete prenderne uno ciascuno lungo da 1 a 8 unità e formare una cornice 11×11 senza i quadretti d’angolo, come mostrato in figura qui sotto che ha come lati (1,8), (4,5), (7,2), (3,6). Qual è il numero minore successivo di regoli che ci permette di nuovo di costruire un quadrato?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p757.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema adattato dalla Maths Newsletter di Chris Smith.)
Ultimo aggiornamento: 2025-07-20 11:48
Non ho la risposta ma un dubbio: ma quella in figura, senza i quadretti d’angolo, non è una cornice 11 x 11?
indubbiamente sì.
Se ho capito bene la domanda, la risposta è 7 regoli.
7
1+6
2+5
3+4.
Se si richiede invece di aumentare la dimensione, la risposta è 15.
15+14+1
13+12+5
11+10+9
8+7+6+4+3+2
D’accordo con Valerio, ho ottenuto sostanzialmente la sua stessa soluzione, modulo un po’ di proprietà associativa e dissociativa. Visto che ai miei ragionamenti ci tengo, faccio anche vedere come ci sono arrivato :-P
La somma delle lunghezze di tutti i regoli da 1 a N, che è N(N+1)/2, deve essere multipla di 4, il che avviene se e solo se N o N+1 sono multipli di 8. Quindi i primi candidati per N sono 15 e 16. Ovviamente la condizione è necessaria, ma bisogna mostrare anche che è sufficiente.
Per N=16 è facile, basta prendere ogni volta gli estremi dei regoli rimanenti:
16+15+2+1=34
14+13+4+3=34
12+11+6+5=34
10+9+8+7=34
Per N=15 basta togliere 1 a tutti gli addendi precedenti (la prima somma perde un addendo ma è normale):
15+14+1=30
13+12+3+2=30
11+10+5+4=30
9+8+7+6=30
Sì, forse non è necessario passare da 16, ma ho trovato prima quella e poi mi si è accesa la lampadina :-P