La successione dei lati corrisponde ai numeri dispari [1,3,5,7,9,11,13,…] e considerando l’alternanza, avremo

l_black = [1,5,9,13,…]

e

l_white = [0,3,7,11,…]

La sequenza dei lati bianchi inizia con 0 per allineare le due sequenze: considerato il pattern, siccome le piastrelle nere sono in numero maggiore di quelle bianche, l’ultima cornice sarà composta con piastrelle nere (per questo motivo dobbiamo considerare la cornice bianca di lato 3 come l’inizio della seconda “coppia” di cornici).

Escludendo il primo elemento delle sequenze, possiamo definirle analiticamente come

l_black(t) = 4t+1

l_white(t) = 4t-1

Inoltre, siccome dobbiamo valutare il numero totale di piastrelle, è utile definire una funzione che a partire dalla dimensione del lato restituisca il numero di piastrelle da utilizzare per quella cornice. Questa semplice funzione è

count(l) = 4(l-1)

A questo punto, possiamo definire il numero di piastrelle usate a un generico step come (tenendo conto dei primi elementi della sequenza non considerati nella formula analitica)

total_black(t) = 1 + sum[0->t](count(l_black(t)))
total_white(t) = 0 + sum[0->t](count(l_white(t)))

A questo punto il problema può essere definito come trovare lo step t per cui

total_black(t) = 169 + total_white(t)

1 + sum[0->t](count(l_black(t))) = 169 + 0 + sum[0->t](count(l_white(t)))
sum[0->t](count(l_black(t))) = 168 + sum[0->t](count(l_white(t)))
sum[0->t](count(4t+1)) = 168 + sum[0->t](count(4t-1))
sum[0->t](4(4t+1-1)) = 168 + sum[0->t](4(4t-1-1))
sum[0->t](16t) = 168 + sum[0->t](16t-8)
sum[0->t](16t) = 168 + sum[0->t](16t) – sum[0->t](8)
0 = 168 – sum[0->t](8)
sum[0->t](8) = 168
8t = 168
t = 21

Quindi, allo step 21 otteniamo che ci sono 169 piastrelle nere in più di quelle bianche. A questo punto, è semplice verificare che il lato di piastrelle nere, visto che è quello più esterno, allo step 21 è pari a

l_black(21) = 4 * 21 + 1 = 85

Spero di non aver toppato nulla