{"id":689,"date":"2015-12-22T16:28:40","date_gmt":"2015-12-22T15:28:40","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=689"},"modified":"2015-12-24T16:09:09","modified_gmt":"2015-12-24T15:09:09","slug":"la-scala-del-diavolo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2015\/12\/22\/la-scala-del-diavolo\/","title":{"rendered":"La scala del diavolo"},"content":{"rendered":"

Quando verso la met\u00e0 del diciannovesimo secolo inizi\u00f2 la grande opera di consolidamento dell’analisi matematica, la spinta non fu certo data dai professori che volevano tendere tranelli ai propri studenti: molto pi\u00f9 banalmente ci si era accorti che alcune idee “ingenue” che si avevano sul comportamento delle funzioni andavano benissimo quando si dovevano trattare enti fisici (da cui la famigerata definizione di “well behaved functions”, cio\u00e8 “funzioni su cui si possono applicare i teoremi che ci interessano”) non erano sempre vere, e quindi bisognava fermarsi e capire cosa stava succedendo. Un esempio tipico di queste funzioni, che inizialmente furono chiamate patologiche perch\u00e9 si pensava fossero eccezioni e non la norma, \u00e8 la funzione di Dirichlet: χ(x<\/i>) vale 0 se x<\/i> \u00e8 un numero irrazionale e 1 se x<\/i> \u00e8 razionale. Il grafico di questa funzione, se di grafico si pu\u00f2 parlare, assomiglia a due rette orizzontali un po’ sbiadite perch\u00e9 mancano loro infiniti punti: quella pi\u00f9 in alto dovrebbe essere pi\u00f9 sbiadita perch\u00e9 ha meno punti, ma non credo se ne accorgerebbe nessuno. Ma ci sono funzioni molto pi\u00f9 curiose!<\/p>\n

\"I

I primi passi della costruzione dell’insieme di Cantor (da Wikipedia<\/a>)<\/p><\/div> Prima di presentarvi la funzione, per\u00f2, credo sia utile ripassare come \u00e8 composto l’insieme di Cantor<\/b>, di cui molti di voi probabilmente hanno sentito parlare. Esso \u00e8 un sottoinsieme del segmento [0,1], che pu\u00f2 essere costruito solo con un numero infinito di operazioni. Al primo passo si divide il segmento in tre parti uguali e si butta via quella di mezzo (lasciando i due estremi, ma in realt\u00e0 il risultato finale cambia poco). Al secondo passo si toglie il terzo centrale dai due segmenti rimasti; al terzo passo si toglie il terzo centrale dai quattro segmentini rimasti; e si continua cos\u00ec all’infinito. Il disegno qui a fianco mostra i primi passi della costruzione. Cosa rimane alla fine di tutto questo lavoro di eliminazione? L’insieme di Cantor, appunto. Approssimato molto bene dalla polvere che continua ad accumularsi sul mio pianoforte, l’insieme di Cantor contiene un’infinit\u00e0 (non numerabile, addirittura!) di punti, ovviamente tutti separati tra di loro. Attenzione: \u00e8 possibile indicare un procedimento che, dato un numero, permette di stabilire se il punto corrispondente appartiene o no alla polvere di Cantor. Prendiamo il numero e scriviamolo in base tre: se la sua rappresentazione contiene solo le cifre 0 e 2 allora sta nell’insieme, mentre se c’\u00e8 anche solo un 1 non ci sta. Tra l’altro, ecco perch\u00e9 nella costruzione ho lasciato entrambi gli estremi dei segmenti: sfrutto il fatto che i punti agli estremi dei segmenti da togliere hanno due possibili rappresentazioni, e quindi posso scegliere per gli estremi del primo segmento centrale le rappresentazioni 0,022222…3<\/sub> e 0,200000…3<\/sub> anzich\u00e9 0,10000…3<\/sub> e 0,1222222…3<\/sub> <\/p>\n

Ma quanto \u00e8 lungo – o meglio, come dicono i matematici, qual \u00e8 la misura dell’insieme di Cantor? Per essere pi\u00f9 precisi bisogna prima chiedersi se una misura ce l’ha. Chi ha studiato analisi matematica sa che non \u00e8 detto che un insieme qualunque sia misurabile: \u00e8 il trucco alla base del paradosso di Banach-Tarski, quello che raddoppia le palle. In questo caso per\u00f2 il compito \u00e8 facile. Al primo passo togliamo infatti un segmento di lunghezza 1\/3: al secondo passo due segmenti di lunghezza 1\/9, cio\u00e8 un totale di 2\/32<\/sup>; al terzo passo quattro segmenti di lunghezza 1\/27, cio\u00e8 un totale di 22<\/sup>\/33<\/sup>. Se fate la somma di questi infiniti pezzi, cosa che non \u00e8 difficile da fare visto che \u00e8 una semplice serie geometrica, otteniamo 1; pertanto quello che rimane \u00e8 di misura 0. Un vera e propria polvere, che per\u00f2 non possiamo nascondere sotto il tappeto!<\/p>\n

Bene: abbiamo ora tutto l’armamentario per studiare la scala del diavolo<\/a>. La funzione \u00e8 definita nell’intervallo [0,1] e ha valori in [0,1]. La sua costruzione formale \u00e8 definita cos\u00ec: dato un punto x<\/i>,<\/p>\n

    \n
  1. Scriviamo x<\/i> in base 3.<\/li>\n
  2. Se nello sviluppo di x<\/i> troviamo un 1, sostituiamo tutte le cifre a destra del primo 1 con degli 0.<\/li>\n
  3. Sostituiamo tutte le cifre 2 con degli 1.<\/li>\n
  4. Leggiamo il numero (che ormai ha sole cifre 0 e 1) come se fosse scritto in base 2.<\/li>\n<\/ol>\n

    \"I

    I primi passi per costruire la funzione di Cantor (da Wikipedia<\/a>)<\/p><\/div> Chiaro, vero? S\u00ec, sto scherzando. Leggendo cos\u00ec non si capisce molto. Forse \u00e8 un po’ pi\u00f9 chiara la GIF animata qui a fianco, presa da Wikipedia<\/a>; provo comunque a far vedere cosa succede nei primi passi di un processo ricorsivo. Scrivendo i numeri in base 3, quelli da 0 a 1\/3 escluso sono della forma 0,0…, quelli tra 1\/3 e 2\/3 escluso della forma 0,1…, quelli da 2\/3 a 1 sono della forma 0,2… I valori del secondo gruppo vengono trasformati in 0,1, che letto come numero binario equivale a 0,5, e non si schiodano pi\u00f9; quelli del terzo gruppo alla fine saranno della forma 0,1…; quelli del primo gruppo per il momento restano identici. Prendiamo ora la seconda cifra decimale. Come nel caso precedente, i valori tra 1\/9 e 2\/9, che scritti in base 3 sono della forma 0,01…, diventano 0,01 in base 2, cio\u00e8 0,25; quelli da 7\/9 a 8\/9, della forma 0,21… diventano prima 0,21 e poi 0,11, che tradotto in base 10 \u00e8 0,75. Quelli da 2\/9 a 1\/3 diventano della forma 0,01…, quelli da 2\/3 a 7\/9 diventano della forma 0,10… e quelli da 8\/9 a 1 diventano della forma 0,11… Andando avanti cos\u00ec, ogni pezzetto centrale di dimensioni 1\/3 ha un valore che si trova a met\u00e0 strada tra i due precedenti e alla fine si ottiene quella specie di scala che vedete in cima al post.<\/p>\n

    Alla fine abbiamo una funzione che sembra un po’ strana con quei pezzi in cui non si muove, ma in fin dei conti neanche poi troppo strana. Essa vale 0 per x<\/i>=0, vale 1 per x<\/i>=1, tocca tutti i valori tra 0 e 1, \u00e8 non decrescente ed \u00e8 continua, anzi uniformemente continua: nella definizione tipica di continuit\u00e0 con delta ed epsilon, il delta dipende solo da epsilon e non anche dal punto di partenza. Insomma, una funzione che sembra comportarsi bene. Peccato che non si sappia mai quando cresca! Nei punti in cui \u00e8 piatta, la derivata \u00e8 ovviamente zero; in quelli in cui non lo \u00e8, che corrispondono ai punti dell’insieme di Cantor, la derivata non \u00e8 definita. Questo tra l’altro significa che l’integrale della derivata della funzione \u00e8 una costante, e quindi non \u00e8 la funzione stessa a meno di una costante: di nuovo, un risultato che per chi ha studiato al liceo \u00e8 assolutamente incredibile. Direi che il nome “scala del diavolo” \u00e8 pi\u00f9 che appropriato, non credete?<\/p>\n

    Post scriptum: mentre cercavo informazioni sulla scala del diavolo ho scoperto che ne esiste anche una versione pi\u00f9 “smussata”: la funzione punto interrogativo<\/b> di Minkowski<\/a>, ?(x<\/i>). Il senso dell’umorismo dei matematici \u00e8 terribile.<\/p>\n

    \"Funzione

    Funzione punto interrogativo di Minkowski, da Wikipedia<\/a>)<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Ci sono molte funzioni “patologiche”: questa forse \u00e8 un po’ meno conosciuta. Continue reading →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1],"tags":[138,139,125],"class_list":["post-689","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-analisi-matematica","tag-cantor","tag-funzioni"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hpX6-b7","jetpack-related-posts":[{"id":2602,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/05\/03\/parole-matematiche-funzione\/","url_meta":{"origin":689,"position":0},"title":"Parole matematiche: funzione","author":".mau.","date":"03\/05\/2013","format":false,"excerpt":"Una parola relativamente moderna, ma che si \u00e8 espansa sin troppo.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2586,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/04\/06\/citazioni-da-_the-joy-of-x_-pillole\/","url_meta":{"origin":689,"position":1},"title":"Citazioni da _The Joy of x_ [Pillole]","author":".mau.","date":"06\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Citazioni matematiche dal libro di Steven Strogatz","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":580,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2015\/06\/19\/maturita-2015-luci-e-ombre\/","url_meta":{"origin":689,"position":2},"title":"Maturit\u00e0 2015, luci e ombre","author":".mau.","date":"19\/06\/2015","format":false,"excerpt":"Ottima l'idea di avere un esempio pratico, meno buona quella di un quesito \"facile\" troppo generico","rel":"","context":"In \"dematematizzazione\"","block_context":{"text":"dematematizzazione","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/tag\/dematematizzazione\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2458,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2011\/11\/16\/non-mi-piace-la-fisica\/","url_meta":{"origin":689,"position":3},"title":"Non mi piace la fisica","author":".mau.","date":"16\/11\/2011","format":false,"excerpt":"Matematici e fisici sono come cani e gatti (di Schr\u00f6dinger?). 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