Se vi presentassi la successione di cifre binarie 10101 01010 10101 01010 10101 01010 e vi dicessi che \u00e8 casuale, immagino che mi guardereste con la faccia di chi dice “non vorrai mica prendermi in giro, vero?”. Se invece vi dessi la successione 10111 00111 01111 01000 00011 01011 forse vi stupireste un po’ dei gruppetti di 0 e di 1 consecutivi ma probabilmente vi fidereste della mia parola… e naturalmente fareste male. Anche la seconda successione, infatti, \u00e8 costruita in maniera tutto fuorch\u00e9 casuale. Ho preso la parte dopo la virgola dello sviluppo decimale di pi greco (14159 26535 89793…) e ho scritto 1 quando la cifra corrispondente \u00e8 dispari e 0 quando \u00e8 pari. In definitiva ci vuole un po’ pi\u00f9 di fatica per trovare la regola, ma anche la seconda successione \u00e8 perfettamente deterministica e non casuale. Ma allora, che cos’\u00e8 una successione casuale?<\/p>\n
La risposta \u00e8 molto semplice: boh. No, non \u00e8 proprio cos\u00ec: per\u00f2 \u00e8 vero che non \u00e8 molto semplice trovare una definizione di successione casuale. Cominciamo con la definizione frequentista<\/strong> legata alla probabilit\u00e0: una successione \u00e8 casuale se in ciascun suo elemento ogni elemento ha la stessa probabilit\u00e0 di apparire. Questa definizione \u00e8 la formalizzazione di quello che si fa quando lanciamo una moneta o un dado e ci segniamo man mano tutti i risultati, e detta cos\u00ec sembra assolutamente logica: peccato che non funzioni affatto in pratica, perch\u00e9 entrambe le successioni qui sopra hanno esattamente la stessa probabilit\u00e0 di essere generate. Questo \u00e8 un paradosso piuttosto noto, che deriva dal fatto che mentre a prima vista la successione “zero uno” ha una sua logica ben precisa quella “pi greco” \u00e8 indistinguibile da tante altre successioni e quindi non spicca.<\/p>\n Per ovviare a questo problema i matematici hanno tirato fuori dal cappello il concetto di numero normale<\/strong>: non solo la singola cifra della successione deve apparire con probabilit\u00e0 casuale, ma lo stesso deve capitare se leggiamo la successione a coppie di cifre, a terne, e cos\u00ec via. Si pu\u00f2 facilmente dimostrare che “quasi tutte” le successioni di numeri sono normali, e quindi immaginare che le successioni che non ci sembrano casuali verranno subito sgamate. In effetti la prima successione non passa il test: la coppia di cifre 00, oppure quella 11, non appariranno mai e pertanto il numero non \u00e8 casuale. Purtroppo per\u00f2, almeno a quanto ne sappiamo, la successione di cifre decimali di pi greco passa tutti i test di normalit\u00e0, e pertanto anche questo secondo criterio fallisce… beh, diciamo fallisce in teoria. Se abbiamo bisogno di numeri (pseudo)casuali per una risoluzione numerica di un problema, non possiamo usare la prima successione perch\u00e9 rischiamo troppo di incocciare in un bias, ma la seconda \u00e8 con ogni probabilit\u00e0 valida e funzionante. Notato per\u00f2 che non ho espresso certezze in nessuno dei casi? <\/p>\n D’altra parte, tutta la teoria ossimorica degli algoritmi di generazione di numeri casuali nasce per trovare una funzione che snoccioli una numeri senza che noi possiamo indovinare quale sar\u00e0 il prossimo. Questa tra l’altro \u00e8 proprio la base della definizione di entropia data da Claude Shannon quando defin\u00ec la teoria dell’informazione. Come stabilire quanta informazione \u00e8 presente nella lingua inglese, o in quella italiana? Sicuramente ce n’\u00e8, altrimenti sapremmo gi\u00e0 cosa qualcuno dice prima ancora che inizi a parlare. Altrettanto certamente non \u00e8 il massimo esprimibile in linea teorica avendo a disposizione ventisei lettere: per esempio dopo la q possiamo supporre con ogni probabilit\u00e0 che troveremo una u. Calcolare per\u00f2 con esattezza l’entropia di una lingua \u00e8 praticamente impossibile, e lo era ancora di pi\u00f9 alla fine degli anni 1940 quando i computer erano per la quasi totalit\u00e0 esseri umani che facevano i conti con carta e penna. Shannon non si perse d’animo, e per stimare quanti bit di informazione per lettera contenesse la lingua inglese ide\u00f2 un semplice esperimento. Prese un testo e dei volontari, lesse loro una lettera per volta e chiese di indovinare la successiva, con risultati che non sono poi tanto lontani da quelli calcolati oggi con i Big Data. Ecco dunque una nuova definizione di casualit\u00e0, come impredicibilit\u00e0<\/strong>. Una successione \u00e8 casuale se pur conoscendo un certo numero di termini precedenti non abbiamo nessuna idea di quello che seguir\u00e0; la parte pi\u00f9 interessante \u00e8 che il campo di azione di questa definizione pu\u00f2 essere ampliato per calcolare quanto una successione non \u00e8 casuale, e confrontare due successioni per capire quale \u00e8 pi\u00f9 casuale di un’altra. L’entropia in senso informatico \u00e8 una nozione potentissima.<\/p>\n Abbiamo per\u00f2 ancora qualche problema. Se noi guardiamo la prima delle successioni iniziali ci accorgiamo subito che la sua entropia \u00e8 bassa, ma se guardiamo la seconda la risposta cambia a seconda se abbiamo o no una conoscenza esterna: non solo la successione dei numeri ma anche la regola che l’ha creata. Si \u00e8 cos\u00ec arrivati negli anni ’60 a una definizione ancora diversa di casualit\u00e0, sviluppata in modo indipendente da Chaitin e Kolmogorov. (La guerra fredda port\u00f2 anche a questa duplicazione di sforzi, visto che era difficile sapere cosa facevano “gli altri” anche in campi prettamente teorici come la matematica). Di nuovo, l’origine di questa nuova definizione \u00e8 informatica. Una successione si pu\u00f2 definire casuale se il pi\u00f9 breve programma<\/strong> che la genera deve contenere al suo interno tutta la successione. Non importa quale sia il linguaggio di programmazione usato: in questo caso non ci importa tanto il valore esatto quanto una stima, e pertanto un qualsiasi linguaggio equivalente a una macchina di Turing universale va bene. Finalmente abbiamo una risposta diversa alla nostra domanda iniziale: entrambe le successioni possono essere definite in maniera breve, e quindi non sono casuali. Questi sono risultati molto profondi nell’informatica teorica, tra l’altro, e soprattutto Chaitin ci ha costruito su una notevole teoria. L’unico guaio pratico \u00e8 che \u00e8 impraticabile scoprire se una successione \u00e8 davvero casuale: bisognerebbe provare tutti i programmi “corti” e accertarci che nessuno tiri fuori i nostri dati di partenza. Ma perlomeno in linea di principio una strada c’\u00e8.<\/p>\n Alla fine per\u00f2 non vale la pena di preoccuparsi troppo: se una successione sembra casuale allora possiamo usarla con tranquillit\u00e0… a meno che non siamo nel campo della crittografia. Se dobbiamo comporre qualche messaggio cifrato dobbiamo essere il pi\u00f9 certi possibile che il testo in chiaro venga modificato in modo da soddisfare tutti i test di casualit\u00e0. Ogni struttura che rimane, per quanto piccola, \u00e8 un punto di attacco per l’analisi crittografica: le falle di Enigma furono l’impossibilit\u00e0 che una lettera venisse trasformata in s\u00e9 stessa e la necessit\u00e0 di inviare ogni mattina i nuovi settaggi. Poi non venite a dire che il caso non \u00e8 importante.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Non \u00e8 facile definire cos’\u00e8 una sequenza casuale, perch\u00e9 non possiamo mai essere certi di avere una piena conoscenza di quello che c’\u00e8 dietro di essa. Continue reading