{"id":2578,"date":"2013-03-19T22:40:52","date_gmt":"2013-03-19T21:40:52","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2578"},"modified":"2022-10-11T11:52:25","modified_gmt":"2022-10-11T09:52:25","slug":"una-vecchia-rivoluzione-nella-matematica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/03\/19\/una-vecchia-rivoluzione-nella-matematica\/","title":{"rendered":"Una (vecchia) rivoluzione nella matematica"},"content":{"rendered":"

La settimana scorsa Paolo Marino mi ha segnalato questo articolo di Frank Quinn<\/a>, dal titolo A Revolution in Mathematics? What Really Happened a Century Ago and Why It Matters Today<\/i>. La rivoluzione di cui parla l’articolo dovrebbe essere abbastanza nota a chi ha studiato matematica al liceo: Quinn per\u00f2 la considera da un punto di vista un po’ diverso, che a me per esempio non era mai venuto in mente, e che getta una luce interessante su quello che accade oggi. Provo a raccontare quanto ho capito io, tenendo conto che siamo su un difficile crinale tra filosofia della matematica e didattica. Diciamo che l’unico vantaggio \u00e8 che di formule non se ne parla affatto!<\/p>\n

\"\"<\/a>

una curva di Peano come disegnata da Hilbert (da Wikipedia, File:Hilbert_curve.png)<\/p><\/div> <\/p>\n

La storia che si sente solitamente raccontare \u00e8 che a partire dalla met\u00e0 del XIX secolo i matematici si sono accorti che le loro dimostrazioni non erano poi cos\u00ec precise, e quindi iniziarono a studiarsi per bene i fondamenti in modo da ottenere una scienza davvero a prova di errore… il tutto arrivando al formalismo di Frege e Russell prima e di Hilbert poi, e al crollo di tutte le speranze con il teorema di indecibilit\u00e0 di G\u00f6del. La rivoluzione avviene insomma tra il 1890, quando Peano tira fuori dal cappello la sua curva che riempie un quadrato e fa capire come il concetto di “curva” fosse molto sottovalutato, e il 1931, con appunto la pubblicazione del teorema di G\u00f6del. Certo la tendenza alla specificazione corretta delle ipotesi e delle dimostrazioni era gi\u00e0 in auge da alcuni decenni, anche se Cauchy, il suo primo promotore, pigliava delle cantonate anche lui: ma per Quinn non \u00e8 questo il punto fondamentale.<\/p>\n

Il problema con la “nuova matematica” \u00e8 che la richiesta di definizioni estremamente precise e di dimostrazioni giustificate passo per passo ha segnato una rottura con l’abitudine plurimillenaria (s\u00ec, ce l’avevano anche i greci, finanche Euclide, per non parlare di Archimede…) di avere un ragionamento matematico che si appoggiava su considerazioni fisiche, e che quindi non era formalmente corretto – una curva fisica non si comporter\u00e0 mai come la curva di Peano! – ma funzionava in pratica. Questo \u00e8 l’approccio usato ancora oggi dai fisici, quello per cui una “well-behaved function” \u00e8 definita come “funzione a cui si possono applicare i teoremi che ci servono”. Il guaio con questa definizione \u00e8 che occorre sempre rifarsi non solamente a qualcosa di esterno – per l’appunto il mondo reale – ma anche usare il nostro raziocinio per capire come applicare il teorema alla realt\u00e0. Questo \u00e8 sempre capitato: anche Euclide, con le sue non-definizioni “punto \u00e8 ci\u00f2 che non ha parti \/ retta \u00e8 lunghezza senza larghezza” chiede al lettore di prendere punti e rette ben reali e astrarne in qualche modo le caratteristiche desiderate.<\/p>\n

Ma questo \u00e8 l’approccio che Hilbert non voleva affatto: a lui la matematica interessava come “gioco formale” che aveva bisogno di definizioni precise e dimostrazioni logicamente complete. Non per nulla prese i cinque pi\u00f9 cinque assiomi euclidei e li raddoppi\u00f2<\/a>, per fare in modo che anche parlando di tavoli, sedie e boccali invece che di piani, rette e punti il tutto funzionasse lo stesso. Il gioco formale \u00e8 quello usato da Russell e Whitehead, con la paginata di simboli che permette di essere certi che 1+1=2; \u00e8 quello che qualche decennio dopo user\u00e0 Bourbaki, con il suo tentativo di riformare la matematica in modo che un libro di geometria non avesse figure (e per fortuna non c’\u00e8 riuscito). \u00c8 anche quello che G\u00f6del ha rotto con i suoi teoremi di indecidibilit\u00e0: Quinn afferma che se Hilbert avesse pensato di definire “vero” come “impossibile da contraddire” quei teoremi non avrebbero avuto tutto quell’effetto dirompente, ma cos\u00ec non \u00e8 stato, ed \u00e8 inutile piangere sulla definizione sprecata.<\/p>\n

Fin qui nulla di realmente nuovo per chi ha studiato un po’ del problema dei fondamenti: l’approccio chiamiamolo hilbertiano ha dato sicuramente tanti vantaggi e permesso di ampliare il campo d’azione della matematica, ma tutto questo ha avuto un alto prezzo: il numero di persone che possono fare matematica ad alto livello si \u00e8 drasticamente ridotto, perch\u00e9 la mancanza di una connessione con il mondo reale rende particolarmente difficile ai “dilettanti” riuscire ad afferrare i concetti di base. Garantisco che io faccio fatica a seguire gli articoli dell’American Mathematical Monthly anche su campi abbastanza di base… Quinn per\u00f2 fa notare un paio di cose che non mi erano mai venute in mente, anche se la prima a posteriori \u00e8 quasi ovvia.<\/p>\n

Innanzitutto bisogna ricordare che questa rivoluzione, come tutte quelle che si rispettano, non \u00e8 passata senza una lotta, e ci sono stati alcuni matematici molto influenti che erano contrari a questo cambio di visione per la matematica. Quinn non pensava tanto a Brouwer e dell’intuizionismo \/ costruttivismo (se non sapete o non vi ricordate di cosa sto parlando, andate a leggere questo mio vecchio post<\/a>): anche se Hilbert ai tempi si era spaventato, quella corrente \u00e8 sempre stata minoritaria. No, il vero gigante dello schieramento avverso \u00e8 nientepopodimeno che Henri Poincar\u00e9. Come dicevo sopra, in effetti la cosa non \u00e8 cos\u00ec strana a posteriori: Poincar\u00e9 \u00e8 stata infatti l’ultima persona che \u00e8 riuscita a conoscere fondamentalmente tutta la matematica e<\/i> tutta la fisica dell’epoca, e quindi \u00e8 abbastanza naturale che il suo punto di vista fosse molto pi\u00f9 legato al mondo reale. \u00c8 vero che a volte il grande matematico francese prendeva delle cantonate: forse avete sentito raccontare del premio indetto da re Oscar II di Svezia per trovare una soluzione del problema dei tre corpi<\/a>. Poincar\u00e9 vinse il premio, ma spese tutti i soldi e qualcosa in pi\u00f9 per ritirare le copie della sua dissertazione, dopo che ci aveva trovato un erroraccio che inficiava il tutto. Ma nonostante questi incidenti di percorso nessuno pu\u00f2 negare la sua bravura: tutto questo per\u00f2 non \u00e8 stato sufficiente per cambiare la situazione.<\/p>\n

Il secondo matematico che ha esercitato un’influenza meno visibile ma pi\u00f9 duratura \u00e8 stato Felix Klein. Non so quanti di voi abbiano sentito parlare di lui, a parte forse per la bottiglia di Klein<\/a>. Ma in realt\u00e0 Klein \u00e8 stato fondamentalmente un didattico, prima nella geometria e poi nel 1908 con il suo testo fondamentale Elementarmathematik vom h\u00f6heren Standpunkte aus<\/i> (matematica elementare da punti di vista superiori). Bene, il sistema educativo scolastico ha continuato per tutto il secolo a seguire l’approccio kleiniano: i tentativi come quello della “nuova matematica” negli anni 1960 e 1970 nel mondo anglosassone – e un po’ pi\u00f9 tardi da noi – sono stati fallimentari, e si \u00e8 cos\u00ec scelto di aggiornare i metodi ma non l’impianto di base di Klein. Risultato? Diventa ancora pi\u00f9 difficile formare i matematici, perch\u00e9 quando arrivano all’universit\u00e0 bisogna ricominciare da zero e spiegar loro come si fanno davvero le cose, con il rischio di scoprire che molti di quelli che erano “bravi in matematica” in realt\u00e0 non sono bravi in “matematica”… e ammetto di essere tra quelli.<\/p>\n

Quinn termina il suo articolo notando come nei decenni il nucleo dei matematici di base si \u00e8 arroccato nella sua torre d’avorio; potevano farlo perch\u00e9 tanto la matematica di base \u00e8 autodefinita, ma oggi questa torre si sta sgretolando perch\u00e9 i fondi a disposizione sono sempre di meno e tendono a essere spostati verso la matematica applicata… anche se poi nessuno pu\u00f2 garantire che la matematica pura rester\u00e0 tale nei secoli, come disegnato da Abstruse Goose<\/a>. Aggiunge poi che a suo giudizio oramai i matematici applicati sono cos\u00ec tanto separati dalla realt\u00e0 matematica di punta che probabilmente non li si dovrebbe nemmeno chiamare matematici ma “scienziati”, e mi \u00e8 parso di leggere il disprezzo verso i loro metodi pi\u00f9 che altro empirici. Fin qua sono abbastanza d’accordo con lui; ma la sua soluzione, spostare le risorse sul lato dell’educazione e completare la rivoluzione dell’inizio del secolo scorso fin dalle scuole elementari, mi pare francamente improponibile e inutile. Qualcuno tra gli stoici che sono arrivati a leggere sin qui avrebbe voglia di commentare a sua volta? Valgono anche le richieste di maggiori spiegazioni, claro!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tra il 1890 e il 1930 la matematica venne rivoluzionata completamente. Peccato che a scuola non si siano accorti di questa rivoluzione, e non per colpa degli insegnanti ma di alcuni matematici. Continue reading →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2578","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hpX6-FA","jetpack-related-posts":[{"id":2180,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2022\/05\/11\/matematica-e-sport-un-vero-parallelo\/","url_meta":{"origin":2578,"position":0},"title":"Matematica e sport: un vero parallelo?","author":".mau.","date":"11\/05\/2022","format":false,"excerpt":"La striscia di SMBC \u00e8 divertente, ma non posso dire che le cose vadano veramente cos\u00ec.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"vignetta smbc","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":291,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2014\/06\/14\/operazioni-palindrome\/","url_meta":{"origin":2578,"position":1},"title":"Carnevale della Matematica #74","author":".mau.","date":"14\/06\/2014","format":false,"excerpt":"L'appuntamento mensile con la raccolta dei post matematici sulla rete \u00e8 stavolta sul Post","rel":"","context":"In \"carnevale\"","block_context":{"text":"carnevale","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/tag\/carnevale\/"},"img":{"alt_text":"[logo]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/carnevale.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":949,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2017\/01\/14\/carnevale-della-matematica-105\/","url_meta":{"origin":2578,"position":2},"title":"Carnevale della matematica #105","author":".mau.","date":"14\/01\/2017","format":false,"excerpt":"\u201cil merlo melodioso tra i cespugli\u201d (Poesia gaussiana) Benvenuti all'edizione numero 105 del Carnevale della Matematica, che dopo sette mesi ritorna qui sul Post! 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